Элементы теории погрешностей

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

К ЛАБОРАТОРНЫМ РАБОТАМ ПО КУРСУ

«МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ И МОДЕЛИ»

Область знаний: 0507 Электротехника и электромеханика

Направление(и) подготовки: 6.050701 Электротехника и электротехнологии

Составители:

Ларина И.И., к.т.н., доцент,

Мишлаков Д.А., ассистент,

Наумов О.Е., ст. преподаватель

Рассмотрено на заседании

кафедры "Электрические системы"

протокол № 1 от 30.08.2013 г.

Утверждено на заседании

Учебно-издательского совета ДонНТУ

протокол № от 2013 г.

Донецк – 2013

Методические указания к лабораторным работам по курсу «Математические методы и модели» для студентов специальности 05070102 «Электрические системы и сети» – Донецк: ДонНТУ. - 2013. - 37 с.

Приведенные методические указания к выполнению лабораторных работ по курсу «Математические методы и модели». Даны методики решения задач теории погрешностей, решения уравнений и их систем, аппроксимации исследовательских зависимостей. В части задач для решения и исследования используется программный пакет Mathcad.

Составители:

Ларина И.И., к.т.н., доцент,

Мишлаков Д.А., ассистент,

Наумов О.Е., ст. преподаватель

Лабораторная работа № 1

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОГРЕШНОСТЕЙ

Цель работы – приобретение навыка решения задач теории погрешностей.

1.1 Основные сведения

Оценка погрешности может быть осуществлена с помощью абсолютной и относительной погрешности.

Приближенным числом а называется число, которое незначительно отличается от точного числа А и заменяет его при проведении вычислений.

Абсолютная погрешность приближенного числа а: = |А - а|.

Если точное число А неизвестно, используют понятие предельной абсолютной погрешности: ≥ |А - а|.

Значение числа А записывают в следующем виде: А = а ± .

Относительная погрешность приближенного числа а:

δ_а = .

Часто используют относительную погрешность, которая выражена в процентном отношении δ_а·100%. Существует также понятие предельной относительной погрешности: ≥ .

Предельную относительную погрешность можно рассчитать по следующей формуле:

= .

При выполнении вычислений точность определяется не количеством десятинных знаков, а количеством значащих цифр результата. Значащими цифрами числа а называют все цифры в него десятинном изображении, начиная с первой цифры слева, отличной от нуля.

1.2 Порядок выполнения работы

1. Определить абсолютные погрешности Δ_Х^* приближенных чисел по их относительной погрешности (индивидуальные задания приведены в табл. 1.1).

2. Определить количество верных значащих цифр в узком и широком смысле для приближенных чисел (табл. 1.2).

3. Определить предельные абсолютную и относительную погрешности приближенных чисел, если они вмещают только верные цифры (в узком и широком смысле) (табл. 1.3).

4. Определить, которое из приближенных равенств точнее (табл. 1.4). Для выполнения нужно:

- записать значение левых частей равенств в десятинном изображении с количеством знаков после запятой не меньше пяти;

- определить абсолютные погрешности для обоих выражений; округлить их с излишком (получите предельные абсолютные погрешности);

- определить предельные относительные погрешности и по их сравнению дать ответ на вопрос.

5. Вычислить и определить предельные погрешности (абсолютную и относительную) результата (табл. 1.5).

6. Рассчитать абсолютные погрешности аргументов функций при условии, чтобы абсолютная погрешность функций не превышала 0,01 (табл. 1.5).

1.3 Содержание отчета

1. Цель работы.

2. Исходные данные для выполнения работы.

3. Расчеты и ответы к каждой задаче.

Таблица 1.1 – Варианты к заданию 1

Вариант	Х			Вариант	Х
	6,18 4,72 21,11 7,27 23,32 14,73 7,19 3,11 12,22 17,81 14,56 11,76 43,54 28,19 63,32	0,3% 0,007 0,004 0,2% 0,005 0,1% 0,002 0,6% 0,4% 0,006 0,003 0,004 0,2% 0,4% 0,008		7,14 14,22 63,12 21,73 6,44 14,88 62,41 17,82 21,33 11,27 26,25 13,72 28,18 15,31 27,11	0,003 0,7% 0,5% 0,004 0,006 0,1% 0,3% 0,006 0,4% 0,008 0,005 0,5% 0,3% 0,006 0,2%

Таблица 1.2 – Варианты к заданию 2

Вариант	Число		Вариант	Число
	72,375 ± 0,0034 36,825 ± 0,0072 9,623 ± 0,066 0,056 ± 0,003 194,42 ± 0,06 84,172 ± 0,007 0,454 ± 0,001 214,72 ± 0,22 44,211 ± 0,044 0,011 ± 0,002 26,481 ± 0,008 0,087 ± 0,002 35,87 ± 0,004 144,97 ± 0,32 8,453 ± 0,071		0,965 ± 0.003 16.782 ± 0,004 33,674 ± 0,008 253,57 ± 0,38 8,492 ± 0,073 0,095 ± 0,002 4,973 ± 0,0054 18,065 ± 0,074 10,832 ± 0,077 5,941 ± 0,055 0,097 ± 0,006 27,785 ± 0,02 111,66 ± 0,07 31,84 ± 0,003 0,956 ± 0,002

Таблица 1.3 – Варианты к заданию 3

Вариант	В узком смысле	В широком смысле		Вариант	В узком смысле	В широком смысле
	15,644 9,450 0,005 60,34 43,51 0,0572 22,343 0,7531 53,486 0,0564	0,6132 0,0452 11,342 0,975 0,0783 21,360 0,0067 31,720 0,630 55,073			6,490 23,897 16,121 0,965 54,901 10,099 0,0790 7,7777 6,873 8,952	0,056 1,0051 0,790 11,070 0,007 0,0034 24,888 0,0050 0,0551 77,340

Продолжение таблицы 1.3

Вариант	В узком смысле	В широком смысле		Вариант	В узком смысле	В широком смысле
	0.579 12,485 0,359 93,072 0,0659	10,024 0,0674 12,075 0,0673 87,75			76,040 0,0090 70,905 0,9950 27,070	0,972 23,787 0,0083 34.756 0,0773

Таблица 1.4 – Варианты к заданию 4

Вариант	Приближенные равенства		Вариант	Приближенные равенства
	≈ 6,63 19/41 ≈ 0,463 7/15 ≈ 0,467 ≈ 5,48 ≈ 3,24 4/17 ≈ 0,235 15/7 ≈ 2,14 ≈ 3,16 6/7 ≈ 0,857 ≈ 2,19 12/11 ≈ 1,091 ≈ 2,61 2/21 ≈ 0,095 ≈ 4,69 23/15 ≈ 1,53 ≈ 3,13 6/11 ≈ 0,545 ≈ 9,11		17/19 ≈ 0,895 ≈ 7,21 21/29 ≈ 0,723 ≈ 6,63 50/19 ≈ 2,63 ≈ 5,19 13/17 ≈ 0,764 ≈ 5,56 7/22 ≈ 0,318 ≈ 3,60 17/11 ≈ 1,545 ≈ 4,24 5/3 ≈ 1,667 ≈ 6,16 49/13 ≈ 3,77 ≈ 3,74 13/7 ≈ 1,857 ≈ 2,64

Продолжение таблицы 1.4

Вариант	Приближенные равенства		Вариант	Приближенные равенства
	19/12 ≈ 1,58 ≈ 3,46 51/11 ≈ 4,64 ≈ 5,91 18/7 ≈ 2,57 ≈ 4,69 19/9 ≈ 2,11 ≈ 4,12 16/7 ≈2,28 ≈ 3,32 20/13 ≈ 1,54 ≈ 7,94		12/7 ≈ 1,71 ≈ 6,86 6/7 ≈ 0,857 ≈ 6,40 23/9 ≈ 2,56 ≈ 9,33 27/31 ≈ 0,872 ≈ 6,48 7/3 ≈ 2,33 ≈ 7,61 14/17 ≈ 0,823 ≈ 7,28

Таблица 1.5 – Варианты к задачам 5 и 6

Вариант	Функция	Аргументы
a	b	c
		17,12 ± 0,01	2,69 ± 0,002	27,44 ± 0,03
		24,97 ± 0,02	6,18 ± 0,005	5,12 ± 0,004
		16,72 ± 0,04	9,74 ± 0,002	2,12 ± 0,003
		4,53 ± 0,01	20,67 ± 0,03	13,96 ± 0,02

Продолжение таблицы 1.5

Вариант	Функция	Аргументы
a	b	c
		5,18 ± 0,002	2,93 ± 0,001	7,54 ± 0,005
		24,72 ± 0,03	7,15 ± 0,005	4,12 ± 0,01
		16,03 ± 0,01	24,13 ± 0,008	0,55 ± 0,002
		29,33 ± 0,005	19,16 ± 0,02	0.85 ± 0,003
		10,11 ± 0,003	2,12 ± 0,004	26,82 ± 0,02
		7,15 ± 0,008	0,38 ± 0,003	10,18 ± 0,01
		8,97 ± 0,01	3,11 ± 0,004	2,17 ± 0,006
		5,23 ± 0,006	7,02 ± 0,004	0,87 ± 0,02
		14,93 ± 0,007	4,88 ± 0,01	13,01 ± 0,003
		23,87 ± 0,01	11,72 ± 0,005	8,24 ± 0,002
		63,75 ± 0,007	9,18 ± 0,003	3,11 ± 0,003
		2,84 ± 0,006	66,77 ± 0,01	7,56 ± 0,002
		3,16 ± 0,004	12,17 ± 0,01	5,13 ± 0,003

Продолжение таблицы 1.5

Вариант	Функция	Аргументы
a	b	c
		1,512 ± 0,003	4,03 ± 0,01	8,92 ± 0,004
		4,16 ± 0,005	11,22 ± 0,003	10,12 ± 0,007
		12,63 ± 0,003	9,31 ± 0,01	21,71 ± 0,01
		44,13 ± 0,008	2,85 ± 0,004	38,42 ± 0,003
		5,11 ± 0,002	8,34 ± 0,005	15,87 ± 0,006
		3,88 ± 0,003	10,15 ± 0,01	6,18 ± 0,005
		0,13 ± 0,006	52,14 ± 0,004	30,24 ± 0,01
		47,24 ± 0,01	0,56 ± 0,003	3,18 ± 0,004
		24,91 ± 0,003	3,11 ± 0,002	15,11 ± 0,01
		8,93 ± 0,01	0,315 ± 0,005	89,22 ± 0,003
		9,57 ± 0,006	63,91 ± 0,01	3,17 ± 0,002
		2,87 ± 0,003	1,372 ± 0,004	57,14 ± 0,01
		19,76 ± 0,01	4,86 ± 0,003	2,12 ± 0,002

Контрольные вопросы

1. Что называют абсолютной погрешностью? Относительной погрешностью? Предельными абсолютной и относительной погрешностями?

2. Дайте определение значащей и верной значащей цифры числа.

3. Какую цифру приближенного числа считают сомнительной?

4. Как можно сделать оценку погрешностей?

5. Сформулируйте общую и обратную задачи теории погрешностей.

6. Какое предположение положено в идею получения решения обратной задачи теории погрешностей?

7. Как оценить абсолютную и относительную погрешности функции по известным абсолютным погрешностями аргументов?

8. Как определить погрешности математических действий с приближенными числами?

Лабораторная работа № 2