Непараметрические методы оценивания показателей

Если закон рас­пределения исследуемого показателя неизвестен и нет необходимости его аналитического описания, то применяют непараметрические методы [1, 12, 14]. Эти методы проще, чем пара­метрические, но они не позволяют прогнозировать значения показателей надежности. К непараметрическим относят методы, построения "множительной" оценки, ядерных оценок и другие. Методы различаются сложностью реализации и качеством получаемых оценок.

Далее будем рассматривать вопросы оценки показателей безотказности (показатели ремонтопригодности оцениваются аналогично). Построение эмпирической функции распределения наработки до отказа по формуле FN (t) = i /N при t > 0 (где N – объем выборки; i – количество наработок до отказа, попавших в интервал [0, t], ) неприменимо для планов [NUr], [NUТ] и [NUz], так как этот подход пред­полагает использование информации по всей выборке. Если ис­ключить наработки до цензурирования, то будут иметь место значительные ошибки в определении FN (t). Наличие цензурирования приводит к неопределенности для FN (t) в области цензурирования, которая увеличивается с ростом числа неполных наработок.

Постановка задачи определения показателей надежности по цензурированным выборкам формулируется следующим образом.

Имеются выборочные значения наработки до отказа t1, t2, …, tr и до цензурирова­ния t1, t2,..., tk. Количество наработок до отказа r и до цензурирования k, объем выборки N = r + k.

Необходимо определить: эмпирическую функцию распределения наработок до отказа, оценки вероятности безотказной работы и среднего значения наработки до отказа.

Допущения: результаты получены с использованием одного из планов типа [NUr], [NUТ] или [NUz].

Решение задачи включает: предварительную обработку ЭД; построение эмпирической функции распределения F_N (t); оценивание вероятности безотказной работы p*(t) и средней наработки до отказа ТО.

Предварительная обработка ЭД предусматривает построение общего вариационного ряда – наработки на отказ и на цензурирование упорядочивают по возрастанию. Если наработка на отказ равна наработке до цензурирования, то в ва­риа­ционном ряду первыми ставят наработку на отказ, а затем нара­ботку до цензурирования.

В методе множительной оценки определение значений оценок p*(t) и F_N (t) производится по простым соотношениям:

p* (t)=1, t < t 1

(1)

где t ₁ – время возникновения первого отказа, N_j – количество работоспособных объектов после отказа при наработке, равной t_i.

По эмпирической функции распределения наработки до отказа или по функции вероятности безотказной работы можно получить оценки дру­гих показателей надежности невосстанавливаемых изделий. Точечная оценка вероятности безотказной работы за наработку t опре­деляется с помощью линейной интерполяции

p ^*(t)= d p ^*(t_v) + (1– d) p ^*(t_{v -1})],

где t_{v -1} и t_v – нара­ботки до отказа, между которыми лежит наработка t;

d =(t – t_{v -1})/(t_v – t_{v -1}).

При известном законе распределения средняя наработка до отказа . Для цензурированных слева выборок время наблюдения ограничено, это обстоятельство позволяет получить только нижнюю границу средней наработки

(2)

где z = max (t_r, t_k); t ₀ = 0.

Для многократно цензурированных выборок при N_u,i > 0 оценка интенсивности отказов l^* { t_i – t_{i -1}} = r_i /[ N_{u , i} (t_i – t_{i -1})], где N_u,i – количество объектов, за которыми ведется наблюдение в интервале времени t_i – t_{i -1}, r_i – количество наработок до отказа в этом интервале. Дисперсия оценки l^* { t_i – t_{i -1}} увеличивается с ростом функции F_N (t).

Основные свойства оценок рассмотренных параметров определяются свойствами функции распределения наработки до отказа, в частности, если оценка функции несмещенная, то и оценка нижней границы средней наработки до отказа также будет не­смещенной. Предложенная оценка функции распределения применима для выборок, многократно и однократно цензурированных слева.

Эта же оценка применима и к функ­ции распределения для выборок, цензурированных справа или интерва­лом. Простым переходом к такому применению является прирав­нивание начала неопределенных на периоде наблюдения нарабо­ток до отказа (начало таких наработок лежит вне периода наблюде­ния и поэтому точно неизвестно) некоторой правдоподобной величине, например правой границе или середине интервала неопределенности.

Рассмотренный подход к построению эмпирической функции распределения прост в реализации, не требует большого объема дан­ных и сложных вычислений. С его помощью удается получить (за исключением ситуаций, в которых N_u,i = 0) несмещенные, состоятельные, асимп­тотически нормальные оценки значений функции распределения наработки объекта до отказа. Основным недостатком оценок является невозможность их применения в интересах прогнозирования надежности изделий. Преодоление данного недостатка воз­можно на основе параметрического оценивания показателей, которое позволяет сформировать оценки с более высокой точностью, чем непараметрические методы.

Пример 1. По плану [ NUz ] проведено наблюдение за 10 объектами. Наработки шести объектов до отказа составили 1922, 2576, 2314, 1873, 2135, 2018 часов. К моменту оценки четыре объекта безотказно проработали 2107, 3936, 2010, 2397 часов. Необходимо построить эмпирическую функцию распределения наработки до отказа и оценить вероятность безотказной работы за наработку в 2000 часов.

Решение. Построим общий вариационный ряд, табл. 1 (звездочками помечены наработки на цензурирование).

Таблица 1

n
tn			2010*		2107*			2397*		3936*
tr	t 1	t 2		t 3		t 4	t 5		t 6
tk			t 1		t 2			t 3		t 4
i
ri
ki

Рассчитаем оценку вероятности безотказной работы и эмпирическую функцию распределения наработки до отказа:

p *(t <1873)=1; p *(t 1) = p *(1873) = 1 – 1/10=0,9; p *(t 2) = p *(1922) = 0,9(1–1/9)=0,8; p *(t 4) = p *(2018) = 0,8(1–1/7)=0,686; p *(t 6) = p *(2135) = 0,686(1–1/5)=0,549; p *(t 7) = p *(2314) = 0,549(1–1/4)=0,411; p *(t 9) = p *(2576) = 0,411(1–1/2)=0,206;

F 10 (t <1873)=0; F 10 (t 1) =1– p *(1873) = 0,1; F 10 (t 2) = 0,2; F 10 (t 4) = 0,314; F 10 (t 6) = 0,451; F 10 (t 7) = 0,589; F 10 (t 9) = 0,794.

Оценка средней наработки до отказа

Т _О = 1873(0,1 – 0)+1922(0,2 – 0,1)+2018(0,314 – 0,2)+

+2135(0,451 – 0,314)+2314(0,589 – 0,451)+

+2576(0,794 – 0,589)+ (1 – 0,794)3936 = 2559,9 часа.

Простое вычисление среднего значения по всем наработкам дает величину, равную 2328,8 часа, что меньше Т _О .

Оценка вероятности безотказной работы за наработку 2000 часов:

d = (2000 – 1922)/(2018 – 1922)=0,813;

p ^*(2000)=0,813*0,686+(1 – 0,813)*0,8=0,707.

Практическая часть

1. Цель занятия

Приобрести практические навыки оценки показателей надежности объекта по цензурированным выборкам экспериментальных данных (ЭД).

2. Задание на занятие

В результате испытаний однотипных невосстанавливаемых изделий на безотказность функционирования получены значения наработок до отказа. К моменту завершения испытаний часть изделий отказала, а другая – сохранила работоспособность. Необходимо определить показатели безотказности изделий на основе непараметрических и параметрических методов, а именно оценить:

среднюю наработку до отказа Т _о;

вероятность безотказной работы для значений наработок t, равных 0,5 Т _о, Т _о, 1,5 Т _о и 2 Т _о.

Решение задачи включает несколько этапов:

2.1. Предварительная обработка данных с целью построения общего вариационного ряда.

2.2. Оценка величины средней наработки до отказа Т _о и вероятности безотказной работы изделия на основе непараметрических методов.

2.3. Оценка параметров закона распределения времени наработки до отказа и проверка адекватности закона распределения экспериментальным данным..

2.4. Оценка указанных в п. 2.2 показателей на основе параметрических методов.

2.5. Формирование выводов по результатам обработки ЭД.

3. Методические указания по выполнению работы

Каждый студент в соответствии со своим порядковым номером в списке учебной группы, табл. 1, обрабатывает свой вариант экспериментальных данных, табл. 2. Для выполнения вычислений целесообразно воспользоваться пакетом символьной математики MathCAD.

Таблица 1

№ п.п	Фамилия И.
Группа

Таблица 2

Варианты индивидуальных заданий

№ пп	Тип плана	Наработки до отказа, час	Наработки на цензурирование, час
	[ NUT ]	571,4; 1815,9; 2140,1; 1232,1; 1231,6; 1900,0; 2060,2; 1444,2; 1793,5; 2027,2	2200,0; 2200,0; 2200,0; 2200,0; 2200,0
	[ NUz ]	224,5; 1155,6; 1339,2; 332,3; 1898,9; 452,1; 1935,4; 1259,4; 2448,8; 2333,6	1692,3; 1049,0; 1834,4; 1437,5; 775,6
	[ NUT ]	1014,5; 1888,5; 1604,1; 144,0; 2803,5; 3000,6; 731,5; 1550,1; 1493,6; 2345,4; 2942,7	2100,0; 2100,0; 2100,0; 2100,0
	[ NUz ]	1809,0; 1513,2; 3060,6; 2096,8; 1800,3; 1689,2; 2704,0; 1752,7; 2370,8; 1946,3; 1198,1	2026,7; 2807,1; 1577,5; 3065,1
	[ NUT ]	1282,0; 1295,8; 1053,4; 2356,6; 1476,6; 3471,1; 1658,8; 2421,4; 1992,9; 1904,2; 1955,2; 1397,2;	2020,0; 2020,0; 2020,0
	[ NUz ]	1704,1; 1366,8; 1584,1; 2426,4; 1834,7; 2478,7; 1540,4; 2142,8; 1936,2; 707,7; 2504,9	1006,2; 1073,3; 1736,3; 2275,2
	[ NUT ]	1606,9; 1487,7; 748,9; 1931,0; 3327,6; 954,1; 3175,8; 3111,3; 590,5; 2639,5; 2118,5	3500,0; 3500,0; 3500,0; 3500,0;
	[ NUz ]	1845,4; 2512,2; 3835,9; 1910,6; 3774,1; 1336,5; 777,8; 1507,1; 3728,0; 3904,3; 2612,4;	1924,5; 1847,6; 1958,8; 2256,8
	[ NUT ]	5129; 4111,7; 4767,8; 7302,3;5520,3; 7458,8; 4635,4; 6447,4; 5827,4; 2128,1; 7537,1	8500; 8500; 8500; 8500
	[ NUz ]	2061,3; 1652,9; 1916,7; 2935,5; 2219,1; 2998,4; 1863,4; 2951,8; 2342,6; 855,5; 3029,9	2752; 1117; 1298; 2101
	[ NUT ]	357,9; 286,9; 332,6; 509,5; 385,0; 520,4; 323,4; 449,8; 406,6;148,5; 525,8	600; 600;:600;:600
	[ NUz ]	802,6; 643,4; 746,1; 1142,7; 863,8; 1167,1; 725,3; 1008,8; 911,8; 332,9; 1179,4	473; 505; 817; 1071
	[ NUT ]	972,9; 779,9; 904,5; 1385,2; 1047,2; 1414,9; 879,3 1223,0; 1105,5; 403,7; 1429,8	1500; 1500; 1500;1500
	[ NUz ]	632,2; 506,8; 587,7; 900,1; 680,4; 919,3; 571,3; 794,3; 718,3; 262,3; 928,9	373,2; 398,1; 644,1; 844,1
	[ NUT ]	461,8; 370,2; 429,2; 497,0; 671,6; 417,3; 580,4; 524,7; 191,6; 678,6; 657,4	700; 700; 700; 700
	[ NUz ]	732,7; 587,4; 681,1; 1043,1; 1965,6; 662,2; 921,1; 832,5; 304,4; 1076,7; 788,6	432,2; 461,4; 746,5; 978,3
	[ NUT ]	903,1; 723,9; 839,5; 1285,8; 1313,4; 1327,1; 816,2; 1135,3; 1026,0; 374,7; 972,0	1600; 1600; 1600; 1600
	[ NUz ]	391,9; 314,1; 364,3 557,9; 421,8; 162,6;575,9; 569,9; 354,2; 492,6; 445,3; 569,9	231,3; 246,8;523,3; 399,3
	[ NUT ]	825,3; 233,3; 638,9; 706,9; 562,3; 450,8; 800,5; 605,2; 817,7 508,2; 522,7	950; 950; 950; 950
	[ NUz ]	446,1; 277,2; 385,6; 348,5; 127,3 450,7; 306,7; 245,9; 436,7; 330,1; 285,1	181,1; 409,5; 193,1; 312,5
	[ NUT ]	513,5; 701,1; 693,8; 197,9; 431,2; 542,1; 599,8; 679,3; 443,5; 382,5; 477,1	760;760; 760; 760
	[ NUz ]	921,8; 601,9; 519,9; 647,5; 951,5; 268,7; 735,7; 813,9; 585,2; 941,6; 686,9	382,2; 659,7;864,5; 407,7
	[ NUT ]	1915,9; 2270,1; 1362,1; 1361,6; 2190,2; 1574,2; 1923,5; 701,4; 2200,0; 2157,2	2300,0; 2300,0; 2300,0; 2300,0; 2300,0
	[ NUz ]	1065,6; 1279,2; 1833,9; 378,1; 1870,2; 1185,4; 2278,6; 159,3; 277,5; 2373,8	1372,2; 984,1; 1769,0; 710,4; 1627,3
	[ NUz ]	1360,1; 899,2; 2050,5; 1086,7; 679,2; 1694,2; 742,7; 936,4; 188,5; 503,2; 890,6	1797,9; 567,3; 2055,4; 1016,7
	[ NUT ]	2468,1; 2048,4; 2358,6; 3336,4; 2617,3; 3395,7; 2261,6; 3348,9; 2746,9; 1253,3; 3421,7	3148; 1513; 1689; 2513
	[ NUT ]	6129; 5111; 5767; 8302; 6520; 8458; 5635; 7447; 6827; 3128; 8537	9600; 9600; 9600; 9600
	[ NUT ]	561; 570; 529,2; 597,0; 771,6; 617,3; 680,4; 624,7; 291,6; 778,6; 757,4	700; 700; 700; 700;700
	[ NUz ]	872; 697,5; 941,3; 1443,1; 2266,1; 1063,2; 1323,1; 1232,6; 667,3; 3163,7; 1176,4	540; 760; 1133,5; 1032,5

3.1. Предварительная обработка ЭД предусматривает построение общего вариационного ряда, для этого наработки на отказ и на цензурирование упорядочивают в порядке неубывания. Если отдельные наработки до отказа равны наработкам до цензурирования, то в ва­риа­ционном ряду первыми ставятся наработки до отказа, а затем нара­ботки до цензурирования. Наработки до цензурирования помечаются специальным образом, например звездочкой.

3.2. Для непараметрического оценивания показателей целесообразно выбрать метод множительной оценки. Определение оценки вероятности безотказной работы и эмпирической функции распределения наработки до отказа производится по соотношениям:

(1)

где N_j - количество работоспособных объектов после отказа при наработке t_i.

Точечная оценка вероятности безотказной работы за наработку t опре­деляется с помощью линейной интерполяции значений эмпирической функции распределения наработки до отказа

p *(t)= d p *(tv) + (1- d) p *(tv -1)],

(2)

где t_{v -1} и t_v - нара­ботки до отказа, между которыми лежит наработка t, d =(t - t_{v -1})/(t_v - t_{v -1}).

Для цензурированных слева выборок время наблюдения ограничено, что позволяет получить только нижнюю границу средней наработки до отказа

(3)

где z = max (t_r, t_k); t ₀ = 0.

4. Содержание отчета

Отчет должен содержать:

исходную выборку в виде вариационного ряда;

значения оценок вероятностей и средней наработки до отказа, вычисленных на основе непараметрических методов;

выводы по результатам оценки надежности.

Контрольные вопросы

1. Понятие цензурированной выборки, цензурирование слева, справа и интервалом.

2. Планы наблюдений цензурированных выборок и их применение для оценки надежности объектов.

3. Непараметрическое оценивание показателей надежности по цензурированным выборкам.

Литература

1. Пантюхин О.И., Ходасевич Г.Б. Надежность АСОИУ. Часть 1,2. Общие положения теории надежности. 230102: Учеб. пособие /СПбГУТ. – СПб, 2012.

2. Надежность и эффективность в технике: Справочник в десяти томах.

Т.6. Экспериментальная отработка и испытания. - М.: Машиностроение, 1989, 376 с.

3. Ходасевич Г.Б. Обработка экспериментальных данных на ЭВМ. Часть 2. Обработка многомерных данных. Учеб. пособие. СПб.: СПбГУТ, 2002, 54 с.

4. Половко А.М., Гуров С.В. Основы теории надежности. – 2-е изд., перераб и доп. – СПб.: БХВ- Петербург, 2006.