Лекция № 5 Основные этапы математического моделирования

Исходя из на­копленного опыта, можно считать, что математическое моделиро­вание включает в себя ряд этапов.

/ этап — постановка задачи исследования, решение которой должно быть получено посредством математического моделирова­ния. На этом этапе определяют объект изучения. Однако этого не­достаточно, ибо любой объект изучения, любой процесс неисчер­паемы в своих свойствах и отношениях (связях). Поэтому следует в соответствии с задачами исследования и конкретными условия­ми выделить из них наиболее существенные, исследование кото­рых должно привести к достижению поставленных целей.

II этап — разработка математической модели. Специалисты в области разработки математических моделей утверждают, что со­ставление математической модели — творческий процесс, кото­рый нельзя уложить в рамки конкретных рекомендаций. По их мнению, интуиция, знание дела и другие интеллектуальные каче­ства, которые, в сущности, не поддаются регулированию, играют важнейшую роль в процессе построения математической модели, и поэтому невозможно написать инструкцию или учебник по по­строению математических моделей. Более того, они считают, что если бы такой учебник был написан, то его появление скорее все­го приведет к ограничению творческих возможностей и не будет способствовать их развитию. Тем не менее анализ накопленного опыта позволил выявить определенные принципы построения ма­тематических моделей поршневых компрессоров*, которые изла­гаются в главе 9 настоящего пособия.

Определенный интерес представляют работы по автоматизации некоторых операций, связанных с разработкой математических моделей. Отметим, что успешные разработки автоматизированно­го составления математических моделей поршневых компрессо­ров возможны только после разработки структуры и основных принципов построения системы математических моделей из мо­дулей с последующим составлением и накоплением модульных математических моделей на всех уровнях иерархии.

III этап — выбор или разработка числового метода, реализующе­го разработанную математическую модель.

IVэтап — проверка математической модели на адекватность.

Уэтап — исследование на математической модели. Все вычисли­тельные эксперименты по заранее намеченному плану проводятся на разработанной математической модели.

VI этап —рассмотрение вопроса о переносе полученных на мате­матической модели данных на реальный объект изучения и об ис­пользовании полученной информации в практической деятельно­сти.

Пример последовательности математического моделирования. Процессы математического моделирования компрессора сложны и разнообразны и вряд ли могут быть представлены какой-то кон­кретной универсальной последовательностью действий, справед­ливой для всех случаев. Поэтому рассмотрим одну из возможных последовательностей работ по математическому моделированию рабочих процессов, протекающих в поршневом компрессоре, ко­торая используется в МГТУ им. Н. Э. Баумана [9] (рис. 8.2).

Представленная на рис. 8.2 последовательность работ при мате­матическом моделировании, предусматривающая 12 стадий, явля­ется одновременно и типичной, и условной. Типичной она является, поскольку в ней представлены основные действия, выполня­емые при математическом моделировании рабочих процессов в поршневых компрессорах. Условность ее заключается в том, что в ряде случаев эта последовательность может быть сокращена или дополнена в зависимости от постановки задачи исследования и наличия информации на начальной стадии исследования.

Следует учитывать, что на практике часто вопросы, входящие в состав различных стадий, решаются одновременно и стадии быва­ет трудно разделить. Кроме того, при разработке и реализации ма­тематической модели, как правило, приходится возвращаться на­зад к уже пройденным стадиям и снова решать вопросы, относя­щиеся к ним. Причем такие циклы могут повторяться многократ­но. Например, в случаях, когда на стадии «Проверка адекватности» выявляется неадекватность математической модели поставленным при исследовании задачам, приходится возвра­щаться к стадии «Схематизация процесса» и по-новому произво­дить упрощение действительного процесса или возвращаться к стадии «Подбор и получение экспериментальных данных» и уточ­нять экспериментальную информацию.

Стадии 1, 2 и 3 соответствуют I этапу математического модели­рования, стадии 4, 5, 6 и 7 — II этапу, стадия 8 — III этапу, стадия 9 — IV этапу, стадия 10 — V этапу и стадии 11 и 12 — VI этапу.

Все стадии математического моделирования (см. рис. 8.2) име­ют большое значение для успешного моделирования. Однако при разработке математической модели наибольшее значение имеют мысленное представление физической сущности процесса, его схематизация, содержательное описание схематизированного про­цесса и возможность подбора необходимых экспериментальных данных из накопленного опыта.

Содержание основных стадий моделирования. Мысленное пред­ставление (стадия 2) физической сущности процесса включает в себя выделение контрольного объема (подробнее см. в главе 9), предусматривает четкое знание количественных и качественных характеристик процесса, ясное понимание составляющих процесс явлений, их взаимосвязей и взаимодействий, правильное опреде­ление главных, наиболее существенных факторов, оказывающих влияние на изучаемый процесс.

Цель исследования должна быть конкретной и четко сформу­лирована в письменном виде (стадия 3). Последнее позволяет из­бежать недоразумений и связанных с ними трудностей при обра­щении к цели исследования на любой последующей стадии моде­лирования.

При схематизации процесса (стадия 4) вводятся и обосновыва­ются допустимые с точки зрения исследователя упрощения, кото­рые позволяют описать основные явления формально, т. е. мате­матически.

Содержательное описание математической модели (Иногда содержательное описание математической модели называют концеп­туальной моделью) (стадия 5) представляет собой текстовое описание основных подходов, фи­зических принципов, допущений и предположений, которые образуют основу для создания модели. Предположения и обоснова­ния возможных аппроксимаций и усреднений данных, вводимых в математическую модель, также входят в содержательное описа­ние. На этой стадии определяют вид и форму представления на­чальных и граничных условий, перечень необходимых экспери­ментальных данных и вид их представления в математической мо­дели. На этой стадии экспериментальные данные могут быть представлены в виде таблиц или графиков. Читатель уже встречал­ся с содержательным описанием мысленной модели идеального компрессора в § 2.1.

Составление содержательного описания математической моде­ли очень полезно при исследованиях сложных объектов и процес­сов, так как позволяет более полно осмыслить математическую модель, на понятном языке согласовать модель с заказчиком и провести консультации со специалистами.

Из содержательного описания становится ясно, каких экспери­ментальных данных недостаточно. В этом случае проводят специ­альные эксперименты (стадия 7).

На стадии 6 необходимо закончить запись всех математических соотношений, представить все логические отношения в виде не­равенств, а также облечь в математическую форму остальные све­дения о процессе, включая экспериментальные данные, при этом такие данные аппроксимируются соответствующими функциями или полиномами, удобными для вычисления на ЭВМ.

Взаимодействие уравнений и экспериментальных данных. На од­ной из стадий моделирования (чаще всего это бывает на стадии не­посредственного написания математической модели) целесообраз­но рассмотреть схему взаимодействия отдельных частей математи­ческой модели, взаимосвязи между уравнениями, а также между уравнениями и экспериментальными данными (рис. 8.3 и 8.4).