Предел функции в точке. Определение предела, односторонние пределы, предел функции на бесконечности

Число А называется пределом функции f(x) в точке x0 (при х -> х₀), если для любого даже очень малого числа Е>0, найдется такое число b>0 (зависящее от ε), что для всех х не равен х₀ и удовлетворяющих условию /х-х₀/<b, выполняется неравенство /f(x)-A< ε /. Смысл определения предела функции f(x) в точке х₀ состоит в том, что для всех значений х, достаточно близких к х₀, значения функции f(x) мало отличаются от числа А(по абсолютной величине).

Число А называется пределом функции y=f(x) в бесконечности (х->к бесконечности), если для любого числа ε >0, найдется такое число S>0 (зависящее от ε), что для всех х,удовлетворяющих условию /х/>S, выполняется неравенство /f(x)-A< ε.

Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Определение бесконечно малой функции в точке и на бесконечности. Связь бесконечно малых и бесконечно больших функций. Свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций.

Функция £(x) называется бесконечно малой при х->х_0, если для любого числа ε >0 существует такое число δ>0, что для всех х ≠ х₀ и удовлетворяющих условию /х-х₀/<δ, выполняется неравенство /£(х)/< ε

Бесконечно малую функцию £(х) называют так же бесконечно малой величиной или просто бесконечно малой.

Функция β(х) называется бесконечно большой при х->x0, если для любого числа М>0 существует такое число >0, что для всех х ≠ х0 и удовлетворяющих условию /х-х0/<b, выполняется неравенство β(х)/>M.

Связь между бесконечно малыми и бесконечно большими функциями.

Если £(х)-бесконечно малая ф-ция, то β(х) бесконечно большая функция, c=const,то c/£(x)=β(x) и c/β(x)=£(x).

Св-ва бесконечно малых и бесконечно больших ф-ций:

1.сумма и разность любого конечного числа бесконечно малых(больших) ф-ций есть бесконечно малая (большая) функция.

2. произведение любого конечного числа бесконечно малых (больших) функций есть бесконечно малая (большая) ф-ция.

3. Произведение бесконечно малой (большой) ф-ции на ограниченную ф-цию или постоянное число есть бесконечно малая (большая) функция.

Основные теоремы о пределах. Единственность предела. Представление предела через добавление бесконечно малой функции. Алгебраические операции над пределами. Предел сложной функции. Предел двойного неравенства («лемма о двух милиционерах»).

Пусть lim_x->x0f(x)=A и lim_x->x0g(x)=B.

Теорема 1. Для того чтобы число А было пределом функции f(x) при х->х0 (∞), необходимо и достаточно, чтобы эту функцию можно было представить в виде f(x)= A+£(x), где £(х)- бесконечно малая функция

Следствие 1. Функция не может иметь два разных предела при одном предельном значении аргумента.

Теоорема2. Предел постоянной величины равен самой постоянной.

Теорема 3. Предел алгебрайческой суммы конечного числа функции равен алгебраической сумме пределов этих функций:

Lim _x->x0(f(x)±g(x))= A±B.

Теорема 4. Предел произведения конечного числа ф-ции равен произведению пределов этих функций: lim_x->x0 (f(x)*g(x))=A*B.

Теорема 5. Предел частного двух ф-ций равен частному пределов этих ф-ций: lim _x->x0 f(x)/g(x)=A/B, где В ≠ 0.

Следствие 2. Предел степени ф-ций, имеющей предел, равен той же степени предела этой функции: lim_x->x0(f(x))ⁿ=(lim_x->x0f(x))ⁿ=Aⁿ.

Следствие 3. Постоянный множитель можно выносить за знак предела: lim_x-x0C*f(x)=C*lim_x->x0f(x)=C*A, C=const.

Теорема 6. Если lim_u->u0 f(u)= A и lim_x->x0 g(x)=U, то lim_x->x0 f(g(x))=A.