Определение устойчивости линейных многомерных систем

Аналогично одномерным системам рассмотрим качественное поведение многомерных систем, описываемых уравнениями сос­тояния.

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Рассматривается линейная многомерная стационарная система, описываемая уравнением состояния:

х(t) = A x(t) + В g(t), х(0) = х₀ (9)

где х - n-мерный вектор состояния; g — r -мерный вектор входных воздействий; t - время; начальный момент времени t₀ = 0; х₀ - начальное состояние; А, В - матрицы размера (n х n), (n х г) соответственно.

Система называется асимптотически устойчивой, если ее свободное движение x_c (t) при g(t) = 0 ограничено при ограниченных начальных состояниях x₀ и выполняется условие

(10)

КРИТЕРИИ УСТОЙЧИВОСТИ

1. Для асимптотической устойчивости системы (9) необходимо и доста­точно, чтобы корни l_i - характеристического уравнения

det (A - lE) = 0 (11)

имели отрицательные действительные части: Rel_i < 0, i = 1,..., n, т.е. располага­лись в левой полуплоскости комплексной плоскости.

2. Для проверки отрицательности действительных частей корней характе­ристического уравнения (11), можно ис­пользовать критерий Рауса-Гурвица.

Необходимое условие устойчивости. Если система (11) асимптотически устойчива, то все коэффициенты характеристического уравнения (11) имеют одинаковые знаки.

Пример 1. Исследовать устойчивость системы, описываемой дифферен­циальными уравнениями

= x_l +2х₂,

= 4x₁ + 3x₂ + g₁

Здесь A = . Характеристическое уравнение = 0, или

l² - 4l - 5 = 0

имеет действительные корни разных знаков: l₁ =5>0, l₂ = -1 < 0. Согласно первому критерию система не является устойчивой.

Пример 2. Исследовать устойчивость системы, описываемой дифференциальными уравнениями

= x₂

= -x_l -2x₂ +g_l.

Здесь А = . Характеристическое уравнение = 0 или

l² + l +1 = 0

имеет отрицательный корень (кратности 2): l_1,2 = - 1. Соглас­но первому критерию система является устойчивой.

Пример 3. Исследовать устойчивость системы, описываемой дифферен­циальными уравнениями

= -x₂+g₁,

= x₁ + g₂.

Перепишем уравнения системы в матричной форме:

A B

Найдем корни характеристического уравнения. Получим

= 0 Þ l² + 1 = 0

Отсюда l₁ =i, l₂=-i. Действительная часть корней равна нулю. Согласно первому критерию система не является устойчивой.

Пример 4. При каких положительных значениях параметра а, система, описываемая дифференциальными уравнениями

= - ax_l + g₁,

= (a-2)x₃+g_l+g₂,

= - x₂ – 2a x₃ – g₂

будет устойчивой?

Составляем характеристическое уравнение:

det (A - lE) = = - (l + а)(l² + 2аl + а – 2) =

= -l³ – 3аl² + (- 2а² – а + 2)l - а² + 2а = 0.

Его корни: l₁ = -а, l₂ = - a - , l₃ = - а + действительные.

При а > 0 корни l₁ и l₂ отрицательны. Из неравенства l₃ < 0 находим, что а > 2. Следовательно, рассматриваемая система устойчива при а > 2.

Проверим этот вывод при а = 3, используя критерий Рауса-Гурвица. Характеристическое уравнение имеет вид - l³ - 9l² -19l - 3 = 0. Умножая его на (-1), получаем коэффициенты: а₃=1, а₂=9, а₁ = 19, а₀ = 3. Составляем матрицу: Затем вычисляем ее угловые миноры: ∆₁ = 9 > 0, ∆₂ = 168 > 0, ∆₃ = 504 > 0. Согласно второму критерию система устойчива.

Проверим результат при а = 1. Характеристическое уравнение имеет вид -l³ - 3l² - l + 1 = 0. Так как коэффициенты этого уравнения имеют разные зна­ки, то согласно необходимому условию система не является устойчивой.

Отсюда 0 < k < . Кроме того, порядок (m = 0) правой части уравнения меньше порядка (n = 4) левой части. Согласно второму и третьему критериям система устойчива при 0 < k < .

Варианты заданий

1. Определить устойчивость одномерных систем согласно Вашего варианта с использованием:

а) критерия Рауса-Гурвица. Решите задачу определения устойчивости без использования компьютера;

б) создайте LTI-объект с именем w и определите расположение корней системы, используя команду pzmap (w), сделайте вывод об устойчивости по расположению корней. Определите устойчивость систем с использованием критерия Рауса-Гурвица с использованием компьютера;

в) используя команды step(w) и impulse(w) постройте соответствующие графики и на их основе сделайте выводы об устойчивости систем.

№ варианта	САУ 3-го порядка	САУ 4-го порядка

2. Исследовать устойчивость многомерных систем, описываемых дифферен­циальными уравнениями:

1. 2. 3.

4. 5. 6.

7. 8. 9.

10. 11. 12.