Понятие об устойчивости

Исследование устойчивости линейных систем с использованием алгебраических методов

Цель работы:

1. Изучить алгебраические методы исследования устойчивости линейных систем.

2. Приобрести практические навыки в решении задач синтеза систем с использованием ППП Matlab.

Учебные вопросы

1.Определение устойчивости линейных систем по расположению корней характеристического уравнения.

2. Определение устойчивости линейных одномерных и многомерных систем с использованием критерия Рауса-Гурвица.

Краткие сведения из теории

Понятие об устойчивости

Устойчивость - это свойство системы возвращаться в исходный или близкий к нему установившийся режим после всякого выхода из него в результате какого-либо воздействия.

На рис. 1 показаны типичные кривые переходных процессов в неустойчивой (рис. 1,а) и устойчивой (рис.1,б) системах. Если система неустойчива, то достаточно любого толчка, чтобы в ней начался расходящийся процесс ухода из исходного установившегося состояния. Этот процесс может быть апериоди­ческим (кривая 1 на рис. 1,а) или колебательным (кривая 2 на рис. 1,а).

Рисунок 1. - К понятию устойчивости системы

Апериодический расходящийся процесс может, например, возникнуть в САУ, если в ее управляющем устройстве ошибочно переключить полярность воздействия на объект, в результате чего управляющее устройство будет осуществлять не отрицательную, а положительную обратную связь вокруг объекта. При этом управ­ляющее устройство будет не устранять отклонение Х, а действо­вать в обратном направлении, вызывая лавинообразное его изме­нение.

Колебательный расходящийся процесс, может наступить, при неограниченном увеличе­нии коэффициента передачи системы, вследствие чего, управля­ющее устройство станет излишне энергично воздействовать на объ­ект, стремясь ликвидировать первоначально возникшие отклонения Х. В этом случае при каждом очередном возврате Х к нулю под дей­ствием управляющего устройства кривая Х будет пересекать ось абсцисс все с большей скоростью и процесс в целом будет расхо­дящимся.

В случае устойчивой системы (рис. 1,б) переходный процесс, вызванный каким-либо воздействием, со временем затухает апе­риодически (кривая 1) или колебательно (кривая 2), и система вновь возвращается в установившееся состояние.

Таким образом, устойчивую систему можно определить как систему, переходные процессы в которой являются затухаю­щими.

Приведенное понятие устойчивости определяет устойчивость установившегося режима системы. Однако система может работать в условиях непрерывно изменяющихся воздействии, когда установившийся режим вообще отсутствует. С учетом этого дадим следующее, более общее определение устойчивости: система устойчива, если ее выходная величина остается ограниченной в условиях действия на систему ограниченных по величине возмущений.

Рассмотрим, от чего зависит устойчивость системы, чем она определяется. Обратимся для этого к уравнению динамики системы

,

где

Освободившись от дробей в числителе и знаменателе переда­точной функции, можно представить ее так: и соответственно перейти к обычной форме записи в виде диффе­ренциального уравнения

(1)

Решение этого линейного неоднородного уравнения в общем виде состоит из двух составляющих: x(t)= x_уст(t) + x_п(t). (2)

Здесь x_уст(t) - частное решение неоднородного уравнения (1) с правой частью, описывающее вынужденный режим системы, устанавливающийся по окончании переходного процесса;

x_п(t) - общее решение однород­ного уравнения D(p)x=0, описывающее переходный процесс в системе, вызванный данным возмущением.