Введение в теорию игр

Теория игр изучает математические модели конфликтных ситуаций. Частная задача теории игр - матричная игра двух лиц, интересы которых противоположны.

Опишем кратко такие игры.

Пусть задана произвольная матрица

Лица, принимающие участие в игре, называются игроками. Каждый из игроков располагает некоторым множеством согласованных с правилами игры способов поведения. Эти способы поведения называются стратегиями. Одноразовая реализация состоит в том, что первый игрок выбирает i-ю стратегию (i-ю строку матрицы), а второй игрок - j-ю стратегию (j-й столбец матрицы А), при этом выбор производится независимо друг от друга.

Это соответствует тому, что игроки располагают конечным числом стратегий: первый располагает m стратегиями, а второй игрок - n стратегиями. Число на пересечении i-й строки и j-го столбца матрицы А является выигрышем первого игрока (точнее платой второго игрока первому), если первый игрок выбирает i-ю стратегию, а второй j-ю стратегию. В силу этого матрица А называется платежной матрицей А или платежной функцией

Обобщим понятия стратегий до понятия смешанных стратегий

интерпретируемых следующим образом:

- вероятность выбора первым игроком i-й стратегии (чистой стратегии),

- вероятность выбора вторым игроком j-й стратегии (чистой стратегии). В предположении независимости случайного выбора игроками чистых стратегий математической ожидание выигрыша для первого игрока будет равно

Пусть M и N множества слагаемых стратегии первого игрока и второго игрока и пусть в основе решающего правила игры лежит принцип гарантированного результата, что соответствует безазартному, осторожному подходу, нацеленному на обеспечение пусть минимального, но гарантированного выигрыша. К нему можно прийти на основе следующего рассуждения. Если первый игрок зафиксирует свою стратегию х, то он может себе гарантировать выигрыш в размере

Но так как выбор стратегии х в руках первого игрока, то он может себе обеспечить выигрыш

Аналогичные рассуждения со стороны второго игрока (с его функцией выигрыша F(x,y)) дают результат

называются оптимальными (равновесными) стратегиями, а F0- ценой игры.

Что такое теория игр? Это — математическая теория конфликтов. А что такое конфликт? Это — такая ситуация (положение, стечение обстоятельств), в которой сталкиваются интересы сторон, происходит борьба интересов. Каждый из участников хочет чего-то своего, не того, чего хотят другие. Самые простые примеры конфликтов — это игры (шашки, шахматы, различные спортивные игры).
Они отличаются тем, что ведутся по определенным правилам. Правила игры - это система условий, указывающих, какие возможности предоставляются игрокам (перечень возможных ходов); к какому результату (выигрышу, проигрышу) приводит каждая данная совокупность ходов.
Далеко не каждый встречающийся на практике конфликт протекает по правилам. Чтобы сделать возможным математический анализ конфликта, нужно представить конфликт в игровой форме, т. е. указать стратегии (образы действий), возможные для участников, и уточнить, к какому результату приведет игра, если каждый из игроков выберет определенную стратегию. Таким образом, игра есть конфликт с четко сформулированными условиями.
Часто бывает так, что результат конфликта — даже при вполне определенных стратегиях участников — предсказать в точности нельзя, так как он зависит от случая. Такими случайными обстоятельствами, вмешивающимися в ход игры, могут быть, например, тасовка и сдача карт, попадание или непопадание в цель при стрельбе и т. п. Тогда вместо «результата игры» нужно говорить о среднем результате, т. е. о результате, приходящемся в среднем на одну партию игры, если будет сыграно достаточно большое количество партий. Действительно, в одной партии может случайно «повезти» и игроку, применяющему явно неразумную стратегию. Если же партий будет много, то в среднем выигрывает тот, кто ведет себя разумно.

Когда мы говорим о результате, или среднем результате, игры, то предполагаем, что этот результат выражается определенным числом. А всегда ли это бывает так? Не всегда. Например, в шахматах мы не всегда выражаем результат числом, а просто говорим: выигрыш, проигрыш, ничья. Но ведь можно условиться и перевести их в числовую форму, например выигрышу приписать значение + 1, проигрышу —1, ничьей 0.
Мы будем предполагать, что в любом конфликте выигрыш (проигрыш) каждого из игроков выражается числом. Тогда основную задачу теории игр можно сформулировать так: как должен вести себя (какую стратегию применять) разумный игрок в конфликте с разумным противником (или противниками), чтобы обеспечить себе в среднем наибольший возможный выигрыш"?