Полигон, гистограмма, кумулята

Пример 16.1. По приведенным ниже данным о квалификации рабочих цеха требуется: 1) построить вариационный ряд; 2) дать графическое изображение ряда в виде полигона частот и относительных частот; 3) вычислить средний тарифный разряд рабочего, моду и медиану.

Тарифные разряды 25 рабочих цеха:

4; 3; 6; 4; 4; 2; 3; 5; 4; 4; 5; 2; 3; 4; 4; 5; 2; 3; 6; 5; 4; 2; 4; 3; 5.

Решение.

1) Строим вариационный ряд: 2; 2; 2; 2; 3; 3; 3; 3; 3; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 5; 5; 5; 5; 5; 6; 6.

2) Строим дискретный ряд распределения частот и относительных частот:

Рис. 3

Строим полигон частот и полигон относительных частот (рис. 3). Полигон частот - ломаная, звенья которой соединяют точки с координатами (, ).

Рис. 4

По этим же данным строим полигон относительных частот? Учитывая, что , .

3) Находим средний тарифный разряд рабочего, моду и медиану.

Строим вспомогательную таблицу:

Тарифный разряд,	Число рабочих,	Накопленная частота, S

Итого: 25

Средний тарифный разряд определяется по формуле среднего арифметического:

,

где x_i - индивидуальное значение признака (варианта). Имеем:

.

Мода:

= 4-му разряду (4-й разряд встречается 9 раз, это наибольшая частота).

Медиана:

.

= 4-му разряду (т.к. номер 13 соответствует 4 разряду).

Пример 16.2. Ниже приведены данные о распределении рабочих участка по стажу работы:

Стаж работы (лет), xi	До 5	5-10	10-15	15-20	20 и более
Число рабочих, mi

Дать графическое изображение ряда, вычислить средний стаж работы рабочего, моду и медиану.

Решение.

1) Графическое изображение ряда может быть представлено в виде гистограммы, полигона и кумуляты.

Для построения графиков строим таблицу :

Таблица

Стаж работы (лет),				,	Накопленная частота,
До 5 5-10 10-15 15-20 20 и более		2/30 3/30 14/30 6/30 5/30	2/5 3/5 14/5 6/5	2/150 3/150 14/150 6/150 5/150

Итого: 30

Здесь - число рабочих, объем выборки n = 30, длина интервала h =5, – относительная частота рабочих по стажу работы (например, ), – плотность частоты (например, ), – плотность относительной частоты (например, ).

2) Построение гистограммы, полигона и кумуляты.

2А Гистограмма частот представляет собой ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы, а высоты представляют собой отношение числу рабочих , а площадь всей фигуры равна объему выборки (рис.5). Для построения полигона частот соединим середины верхних оснований прямоугольников ломаной линией.

Рис. 5

Рис. 6

Аналогичным образом строится гистограмма и полигон относительных частот, только высоты будут представлять собой отношение , а площадь всей фигуры будет равна единице (рис.6).

Рис. 7 ПОПРАВИТЬ: Х=5, S=2 Х=15, S=19

2Б. Кумулята строится по накопленным частотам (частостям). По вертикальной оси откладываются накопленные частоты (частости, в нашем примере приведены в последнем столбце таблицы ), а по горизонтальной длина интервалов. При построении кумуляты нижней границе первого интервала соответствует частота равная нулю, а верхней границе вся частота данного интервала (рис.7).

	S

3) Средний стаж работы рабочего участка определяется по формуле:

,

- середина интервала;

(лет)

Мода Мо соответствует интервалу 10-15.

;

, , , , .

(лет).

Место медианы определяется по её номеру: (лет).

По номеру определяем медианный интервал 10-15.

,

, , , , .

(лет).