Задачи для самостоятельного решения. 3.3. Нормальный закон распределения

СОДЕРЖАНИЕ

Предисловие..…………………………………………………….…. 4

3.3. Нормальный закон распределения ……………………….…. 5

3.4. Показательный закон распределения ……………………….….8

РАЗДЕЛ ЧЕТВЕРТЫЙ. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА ……..13

4.1. Вариационный ряд ……………………….…………………… 13

4.2. Эмпирическая функция распределения ……………………… 17

4.3. Полигон, гистограмма, кумулята ……………………………… 19

4.4. Показатели асимметрии и эксцесса ……………………….…… 27

4.5. Статистические оценки параметров распределения ………….28

3.3. НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Пример 12.1. Случайная величина задана плотностью распределения вероятностей:

.

Построить график функции плотности распределения. Найти её математическое ожидание и дисперсию .

Решение.

Рис. 1 РИСУНОК НЕ СООТВЕТСТВУЕТ

Так как случайная величина имеет нормальный закон распределения, то из условия следует, что , а .

Пример 12.2. Случайная величина имеет нормальный закон распределения с математическим ожиданием и среднеквадратическим отклонением . Какова вероятность того, что в результате испытания значение случайной величины окажется в интервале ?

Решение. Так как интервал несимметричен относительно математического ожидания , то для решения задачи используем

формулу: , откуда

,

где – функция Лапласа, значения которой находим по соответствующей таблице.

Пример 12.3. Размер детали есть случайная величина с нормальным законом распределения, математическое ожидание которой , а среднеквадратическое отклонение . Какова вероятность того, что при изготовлении детали её размер окажется в интервале ?

Решение. Так как интервал симметричен относительно математического ожидания а = 13, то для решения задачи используем формулу: , откуда

.

Пример 12.4. После изготовления детали контролируется её размер. Ошибка измерения контролируемого размера детали есть случайная величина , имеющая нормальный закон распределения с математическим ожиданием и среднеквадратическим отклонением мм. Какова вероятность того, что ошибка измерения будет менее 17 мм?

Решение. Так как ошибка измерения есть случайная величина с нормальным законом распределения и возможными значениями, симметричными относительно математического ожидания , то для решения задачи используем формулу: , откуда

.

Пример 13. 5. Размер изготавливаемой на станке детали представляет собой случайную величину, подчинённую нормальному закону распределения. Средний размер детали мм, а среднеквадратическое отклонение мм. Найти вероятность того, что отклонение размера детали при её изготовлении не превысит допуска мм?

Решение. Так как отклонение размера детали симметрично относительно математического ожидания, то для решения задачи используем формулу: ,

откуда следует, что у 31% деталей отклонение размера будет в пределах заданного допуска.

Задачи для самостоятельного решения

1. Рост студентов группы есть случайная величина , имеющая нормальный закон распределения с математическим ожиданием и среднеквадратическим отклонением . Найти плотность вероятности и функцию распределения для случайной величины .

2. Случайная величина имеет нормальный закон распределения с математическим ожиданием и среднеквадратическим отклонением . Какова вероятность того, что в результате испытания значение случайной величины попадёт в интервал ?

3. Вес продаваемых арбузов есть случайная величина с математическим ожиданием кг и среднеквадратическим отклонением кг. Найти вероятность того, что вес одного случайно купленного арбуза окажется в интервале кг.

4. Размер детали есть случайная величина с нормальным законом распределения, математическое ожидание которой , а среднеквадратическое отклонение . Какова вероятность того, что при изготовлении детали её размер попадёт в интервал ?

5. После изготовления детали контролируется её размер. Ошибка измерения размера детали есть случайная величина с нормальным законом распределения, математическое ожидание которой и среднеквадратическое отклонение мм. Какова вероятность того, что ошибка измерения будет менее 20 мм?

6. У изготовленной детали контролируется её размер. Ошибка измерения размера детали есть случайная величина , имеющая нормальный закон распределения с математическим ожиданием и среднеквадратическим отклонением σ_х = 8 мм. Какова вероятность того, что ошибка измерения будет менее 10 мм?

7. Размер изготавливаемой на станке детали представляет собой случайную величину, подчинённую нормальному закону распределения. Средний размер детали мм, а среднеквадратическое отклонение мм. Найти вероятность того, что отклонение размера детали при её изготовлении не превысит допуска мм?

8. Размер изготавливаемой на станке детали есть случайная величина с нормальным законом распределения. Средний размер детали мм, а среднеквадратическое отклонение мм. Какова вероятность того, что отклонение размера детали при её изготовлении не превысит допуска мм?

9. Размер изготавливаемой на станке детали представляет собой случайную величину, подчинённую нормальному закону распределения. Средний размер детали мм, а среднеквадратическое отклонение мм. Требуется определить гарантированную точность изготовления детали, если вероятность невыхода за пределы заданного допуска равна 0,98.

10. Известно, что средний расход краски на один квадратный метр детали гр., а среднеквадратическое отклонение расхода краски гр. Считая расход краски нормально распределённой случайной величиной , определить диапазон, в который попадёт наносимый объём краски с вероятностью 0,98.

13. Показательный закон распределения

Пример 13.1. Какова функция плотности и функция распределения вероятностей для случайной величины , имеющей показательный закон распределения, если параметр λ = 7? Построить график функции плотности распределения.

Решение. Для решения задачи воспользуемся выражениями функции плотности и функции распределения вероятностей показательного закона:

и

Так как по условию задачи параметр λ = 7, то функция плотности и функция распределения будут иметь вид:

и .

Рис. 1 РИСУНОК НЕ СООТВЕТСТВУЕТ

Пример 13.2. Найти параметр λ показательного закона распределения, заданного функцией плотности

Решение. Из выражения функции плотности, приведённой в условиях задачи, следует, что параметр λ = 10.

Пример 13.3. Закон распределения непрерывной случайной величины задан функцией плотности .

Требуется написать выражение для функции распределения и найти математическое ожидание случайной величины .

Решение. Из выражения функции плотности следует, что случайная величина имеет показательный закон распределения с параметром λ=14. Поэтому математическое ожидание , а функцией распределения вероятностей будет .

Пример 13.4. Случайная величина имеет показательный закон распределения, заданный функцией плотности

Какова вероятность того, что в результате проведения опыта значение случайной величины , имеющей показательный закон распределения с параметром λ = 16, попадёт в интервал ?

Решение. Так как случайная величина имеет показательный закон распределения с параметром λ = 16, то для решения задачи будем использовать функцию распределения

, где .

Отсюда получим:

Пример 13.5. Время ремонта автомашины на станции техобслуживания является случайной величиной , с показательным законом распределения с параметром . Определить вероятность того, что время ремонта одной автомашины составит менее 7 часов. Найти минимальное, среднее и максимальное время ремонта одной автомашины.

Решение. Для решения задачи будем использовать функцию распределения показательного закона и его числовые характеристики.

; .

Таким образом, .

Среднее время ремонта

Минимальное время ремонта

Максимальное время ремонта