Лекция №2. Анализ основных направлений цифровой обработки сигналов

Содержание лекции: классификация цифровых фильтров, их математическое описание, спектральный анализ.

Цель лекции: ознакомиться с классификацией и математическим описанием рекурсивных и нерекурсивных цифровых фильтров и методами спектрального анализа.

К одному из основных направлений цифровой обработки сигналов (ЦОС) относится цифровая фильтрация. Цифровая фильтрация – это процесс преобразования цифровых сигналов с целью выделения и/или подавления определенных частот этих сигналов, а устройство, выполняющее фильтрацию, называется фильтром. На рисунке 2 представлены классы и типы цифровых фильтров (ЦФ).

НЧ ВЧ ПФ РФ

Баттерворта Чебышева 1 и 2 Золотарева-Кауэра

Рисунок 2

Из рисунка 2 видно, что в области цифровой фильтрации разработчик систем ЦОС имеет дело с реализацией двух классов фильтров:

- фильтры с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ-фильтры), то есть с импульсной характеристикой, имеющей бесконечную длину во временной области; такой фильтр называют еще рекурсивным из-за наличия обратной связи;

- фильтры с конечной импульсной характеристикой (КИХ-фильтр), то

есть с импульсной характеристикой, ограниченной по времени (с какого-то момента времени она становится равной нулю); из-за отсутствия обратной связи такие фильтры называют нерекурсивными.

Из рисунка 2 видно, что фильтры могут быть фильтрами низкой частоты (НЧ), высокой частоты (ВЧ), полосовыми фильтрами (ПФ), режекторными фильтрами, а из нерекурсивных фильтров (НРФ) можно также построить амплитудные корректоры (АК), преобразователи Гильберта и дифференциаторы.

Оба класса фильтров относятся к классу линейных систем с постоянными параметрами, в которых входная и выходная последовательности связаны отношениями типа свертки. Если обозначить через отклик системы на единичный импульс, то получим свертку вида:

(2.1)

где - отсчеты входного и выходного сигналов;

h(k) – импульсная характеристика;

x(n - k) - входной отсчет, задержанный на k интервалов дискретизации.

Цифровые фильтры полностью описываются во временной области разностными уравнениями, а в z- области – передаточными функциями.

Рекурсивные фильтры представляют собой системы с обратной связью и описываются разностными уравнениями вида

(2.2)

где b_i и a_k – вещественные коэффициенты, причем хотя бы один a_k ≠ 0;

x(n-i) - входные отсчеты, задержанные на периодов дискретизации ;

y(n-k) -выходные отсчеты, задержанные на периодов дискретизации T;

N и M – постоянные целые числа, причем М ≥ N.

Нерекурсивные фильтры представляют собой системы без обратной связи и описываются разностными уравнениями вида

, (2.3)

где N - число коэффициентов;

N-1 – порядок фильтра.

Необходимо отметить, что коэффициенты a_k передаточной функции рекурсивного фильтра по абсолютной величине равны коэффициентам разностного уравнения, но противоположны по знаку, а коэффициенты b_i разностного уравнения и передаточной функции нерекурсивного фильтра полностью совпадают и представляют собой отсчеты его импульсной характеристики.

Таким образом, для построения систем цифровой фильтрации требуется эффективная реализация соотношения типа дискретной свертки (2.1), которая раскладывается на операции умножения и накапливающего суммирования, а также операции задержки, что учитывается в архитектуре сигнальных процессоров при реализации процессов цифровой фильтрации.

В ряде задач цифровой обработки необходимо оценить параметры спектра сигнала, то есть выполнить спектральный анализ. Исходными данными для обработки являются отсчетов сигнала . Для исследования частотного состава этой последовательности ее нужно преобразовать, используя Фурье-анализ. С аналитической точки зрения Фурье-анализ позволяет установить связь между сигналом во временной области и его спектром в частотной области. При этом вычисляются компоненты спектра на основе дискретного преобразования Фурье (ДПФ).

ДПФ – это пара взаимно однозначных преобразований, которые в компактном виде выглядят следующим образом:

1) прямое ; (2.4)

2) обратное , (2.5)

где - длина исходной последовательности;

- количество частотных отсчетов;

- количество временных отсчетов;

- поворачивающий множитель (весовая, периодическая функция), получивший свое название потому, что аргумент экспоненты отображает угол поворота на единичной окружности комплексной z -плоскости.

Используя свойство периодичности поворачивающего множителя , можно уменьшить количество арифметических операций для вычисления ДПФ. Существует целый набор алгоритмов для быстрого ДПФ: с основанием 2, с основанием 4, Виноградова и другие.

Первый алгоритм был опубликован в 1965 году в США и назван по имени его создателей Кули-Тьюки. Существуют две версии этого алгоритма:

1) с прореживанием по времени, при реализации которого требуется перестановка (прореживание) отсчетов входной последовательности;

2) с прореживанием по частоте, при реализации которого требуется перестановка (прореживание) отсчетов выходной последовательности.