Определение напряжений в массиве грунтов. Распределение напряжений от собственного веса

Напряжения, возникающие в массиве грунтов от действия сооружения, накладываются на поле начальных напряжений, сформировавшихся в массиве к моменту строительства. В общем случае начальные напряжения определяются не только силами гравитации (собственным весом грунта), но и изменением этих сил в процессе формирования массива (увеличение или уменьшение грунтовой толщи), тектоническими, сейсмическими воздействиями и рядом других факторов.

Начальное напряженное состояние массива грунта может также изменяться в период работ нулевого цикла: вследствие выемки грунта при разработке котлована, водопонижения, трамбования или укатки грунта и т. п. В этих случаях состояние грунта не начальное, а исходное.

Точное определение начального и исходного напряженного состояния очень сложная задача. В инженерной практике используют упрощенное представление: природные напряжения определяют только силами гравитации, т. е. под действием собственного веса. При этом считают, что все деформации массива от собственного веса грунта уже прекратились и напряжения полностью стабилизировались.

Тогда при горизонтальной поверхности массива грунтов напряжения на глубине z определяют по выражениям:

х

σ _z = ∫ γ (z)dz; σ _х = σ _y = ξ σ _z;

о

τ _{x y} = τ _{y z} = τ _{z x} = 0, (4.1)

где γ – удельный вес грунта; ξ - коэффициент бокового давления грунта в состоянии покоя, который может изменяться от 0 до 1 и который определяют по формуле (4.2):

ξ = σ _х / σ _z = σ _y / σ _z, (4.2)

Отсюда можно показать, что для однородных напластований при γ (z) = const вертикальные напряжения от собственного веса грунта на глубине z от поверхности определяются формулой (4.3):

σ _z = γ z, (4.3)

Эпюра природных напряжений при этом будет иметь вид треугольника (Рисунок 12, а).

При неоднородном напластовании с горизонтальным залеганием слоев эта эпюра будет уже ограничиваться ломаной линией Оабв, где наклон каждого отрезка в пределах мощности слоя h_i определяется значением удельного веса грунта этого слоя γ_i (Рисунок 12, б).

Необходимо отметить, что неоднородность напластования может вызываться не только наличием слоев с разными характеристиками, но и наличием в пределах толщи грунта уровня подземных вод (WL на Рисунке 12, б). В этом случае следует учесть уменьшение удельного веса грунта за счет взвешивающего действия воды на минеральные частицы:

Рисунок 12 – Характерные эпюры распределения

напряжений от собственного веса грунтов:

а) в виде треугольника при однородном напластовании;

б) в виде ломаной линии (треугольников и трапеций)

при неоднородном напластовании

γ_sb = (γ_s - γ_w) / (1 + е), (4.4)

где γ_sb - удельный вес грунта во взвешенном состоянии;

γ_s - удельный вес частиц грунта;

γ_w - удельный вес воды, принимаемый равным 10 кН/м³;

е – коэффициент пористости грунта, определяемый по формуле (2.4).

Определив значения компонент вертикальных напряжений σ _z при любом напластовании грунтов и зная соответствующие значения коэффициентов бокового давления ξ, можно по формуле (4.1) найти значения компонент горизонтальных напряжений σ _х = σ _y.

Следует отметить, что из-за сложных процессов формирования массива грунтов может оказаться, что соотношение действующих в грунтовой толще напряжений ξ = σ _х / σ _z = σ _y / σ _z будет превышать единицу. Такое положение соответствует, например, случаю переуплотненных грунтов. Поскольку определить действующие в массиве напряжения можно только в результате очень трудоемких экспериментов, иногда считают, что природное напряжение в массиве грунтов соответствует шаровому тензору, то есть:

σ _х = σ _y = σ _z, (4.5)

При горизонтальной поверхности массива компоненты природного напряжения всегда являются главными сжимающими напряжениями.

21. Определение напряжений в грунте от действия одной или нескольких вертикальных сосредоточенных сил (Задача Буссинеска)?

Составим расчётную схему данной задачи, представив грунтовое основание, как упругое полупространство.

Графическое представление условий (расчётная схема) задачи для определения напряжений в массиве грунта от сосредоточенной силы.

По условиям задачи необходимо определить значения вертикальных напряжений σz и касательных напряжений τzx; τzy в точке М, расположенной на площадке, параллельной плоскости, ограничивающей массив от действия сосредоточенной силы Р.

Решим эту задачу в три этапа:

Определим σR – в радиальном направлении перпендикулярно R (в т. М)

Определим σR' – в радиальном направлении (приложенном к площадке, параллельной плоскости ограничивающей массив).

Определим σz;τzx;τzy.

1 этап решения задачи:

Допустим, что под действием силы Р точка М переместилась в точку М1. Обозначим S – перемещение точки М. Тогда можно записать:

Мы получили перемещение точки М (см. выше приведённый рисунок).

В представленной зависимости осадка точки будет прямо пропорционально завесить от косинуса угла β и обратно пропорционально радиусу расположения точки, где А – коэффициент пропорциональности.

Определим относительное перемещение точки:

Согласно первому постулату теории упругости между напряжениями и деформациями должна быть прямая зависимость, следовательно:

Радиальное напряжение в точке М.

В этой формуле В – коэффициент пропорциональности. Для определения σR необходимо определить произведение коэффициентов АВ.

σR – определяется по методу, используемому в сопромате («метод сечений»: мысленно разрезают балку, одну часть отбрасывают и оставшуюся часть уравновешивают).

Расчётная схема для определения радиальных напряжений в грунте.

Для решения данной задачи поступим аналогичным образом. Рассматрим полушаровое сечение радиусом R и заменим отброшенное пространство напряжениями σR. Рассмотрим изменение β в пределах dβ. Составим уравнение равновесия на ось Z:

Величина радиального напряжения в грунте зависит от координат точки и величины прикладываемой силы.

2 этап решения задачи:

Схема пересчёта радиальных напряжений к вертикальным.

Из геометрических соотношений можно записать:

Мы получили величину радиальных напряжений, приложенных к площадке параллельно плоскости, ограничивающей массив.

3 этап решения задачи:

, подставим и получим

Введём обозначение:

Упрощая выше полученное выражение, вводим значение коэффициента К. Тогда получим:

Результат окончательного решения нашей задачи.

– определяется по таблице.

22. Определение напряжений от равномерно распределённой нагрузки, действующей по площади?

В случае действия распределенной нагрузки напряжение в массиве можно определить по формулам для нахождения напряжения при действии сосредоточенной силы, используя принцип суперпозиции (независимость действия сил)

Область загружения делится на ряд элементов, распределенная нагрузка на которых заменяется равнодействующей в центрах их тяжести.

σ_z=(3/2)*π* (F₁Z₁³/R₁⁵ + F₂Z₂³/R₂⁵ +…+ F_nZ_n³/R_n⁵)

или

σ_z=∑(F_iK_i/Z²)

Решение для определения σ_z под центром площади выглядит как:

σ_z=P*f*(z/(0.5b); a/b), где

b - ширина подошвы, a -длинна подошвы фундамента, z – глубина на которой определяется напряжение, P - среднее давление под подошвой.

Значение f приводится в СНиП 2.02.01-83*, в виде таблиц. В них по двум параметрам:

1) ξ =2z/b;

2) η =a/b.

23. Определение напряжения методом угловых точек?

В результате сравнения численных решений оказалось, что напряжение под центром и под углом площади связанны следующим образом:

σzугл/Z=0.25 σzцентр/(0,5z)

Для определения вертикального напряжения σz в любой точке полупространства можно воспользоваться выражением

σz=0.25αP, где α- коэфф., принимаемый в зависимости от отношения сторон площадей загружения a,b и глубины z.

Если проекция рассматриваемой точки M’ на горизонтальную поверхность полупространства (точка М) располагается в пределах площади загружения, то эту площадь можно разбить на 4 прямоугольника (ABMH, BCDM, DEFM, FGHM) так, что бы точка M была угловой точкой каждого из них. Тогда напряжение σz найдем суммированием напряжений под угловыми точками четырех площадей загружения:

σz= σz1+ σz2 + σz3 + σz4=0,25(α1+α2 +α3 +α4)P

Так, пользуясь методом угловых точек, можно найти напряжение в любой точке полупространства, к поверхности которого приложена равномерно распределенная нагрузка в пределах прямоугольной площади.

24. Определения напряжения при полосовой нагрузке?

σ_Z=P(β₁+sin (2β₁)/2-(±β₂)-sin(±β₂)/2)/π

σ₁=P(α+sinα)/π

σ₃=P(α-sinα)/π

25. Распределения контактных давлений при жёсткой передаче нагрузке.

Если нагрузка передается на грунт жестким фундаментом, то при симметричном загружении осадка поверхности грунта под ним будет равномерной. Это повлечет за собой неравномерное распределение давления по подошве фундамента, обусловливаемое неравномерностью деформации поверхности грунта вокруг фундамента. Теоретическое решение этой задачи для абсолютно жесткого круглого штампа, выполненное Буссинеском, приводит к выражению

р_ρ=р_m/(2√(1-ρ²/r²))

р_ρ – давление по подошве круглого фундамента на расстоянии ρ от его центра при ρ<r

r – радиус подошвы фундамента

р_m – среднее давление по подошве фундамента