Кронекер-Капелли теоремасы

n белгісізі бар біртекті емес m сызықты теңдеулер жүйесін қарастырайық:

(1)

Берілген жүйенің негізгі матрицасының рангісі мен оның кеңейтілген матрицасының рангісі арасында

байланыстары бар, мұндағы жүйенің негізгі матрицасы, яғни

болады, ал жүйенің кеңейтілген матрицасы болады.

Берілген жүйені зерттеу немесе үйлесімді немесе үйлесімсіз болатынын айқындайтын Кронекер-Капелли теоремасы.

Теорема. (Кронекер-Капелли)

Біртекті емес (1) сызықты теңдеулер жүйесі үйлесімді болу үшін жүйенің негізгі матрицасының рангісі оның кеңейтілген матрицасының рангісіне тең болуы:

қажетті әрі жеткілікті.

Мұнда екі жағдайды қарастыруға болады:

Бірінші жағдай:

Бұл жағдайда (1) жүйе мына түрде жазылады:

(2)

Егер де ескерсек, онда жүйенің шешімі тек біреу ғана және ол Крамер формуласымен анықталады. Бұл шешу (1) жүйенің қалған теңдеулерін қанағаттандырады. Сонымен, (1) жүйе үйлесімді және анықталған.

Екінші жағдай: . Бұл жағдайда (1) жүйені мына түрде жазуға болады:

(3)

Мұндағы, белгісіздер бос мүшелер. Олар кез келген тұрақты сандарды қабылдайды. Енді ескеріп, Крамер формуласын пайдаланып, (3) жүйенің де шешімін анықтаймыз. Сонымен, (1) жүйе үйлесімді. Бұл шешім арқылы өрнектелгендіктен, (1) а нықталмаған жүйе, яғни оның шексіз көп шешімі бар. Сонымен, Кронекер-Капелли теоремасы мына төмендегідей қорытындыға келтіреді:

1) Егер , онда (1) жүйенің тек бір ғана шешімі бар;

2) Егер болса, онда (1) жүйенің шексіз көп шешімі бар және ол шешімдер (3) жүйеден анықталады. (3) жүйеден анықталған шешімі (1) жүйенің жалпы шешімі деп аталады.