Основные теоремы о пределах

Теорема 1. Если существует

, то он единственный.

Теорема 2.

, если

.

Теорема 3. Если функция при имеет конечный предел и существует предел функции , то

.

Теорема 4. Если в некоторой окрестности точки и

то и

.

Теорема 5. Если при некотором функция возрастает на (убывает на ) и ограничена сверху (снизу), то существует ( ).

Теорема 6. Если для любого существует такое, что для произвольных и из интервала , отличных от , то существует

.

Теорема 7. Для существования предела

необходимо и достаточно, чтобы всякой последовательности , сходящейся к , отвечала последовательность , сходящаяся к .

Теорема 8. Если в некоторой окрестности точки , кроме, может быть, самой этой точки, , то и

если эти пределы существуют и конечны.

Замечание. Эти теоремы верны и в том случае, когда не есть конечное число (иногда с очевидными изменениями формулировок.

Пример 17. Вычислить

.

Решение. По теореме 2

.

Пример 18. Доказать, что последовательность имеет предел, равный нулю.

Решение. Заметим, что , отсюда

.

По теореме 4 о переходе к переделу в неравенствах получаем

а так как и

, то

.

Пример 19. Доказать, что

Решение. Заметим, что , отсюда , и по теореме 8 о переходе к пределу в неравенствах

, отсюда

.

Пример 20. Вычислить

.

Решение. Функция, стоящая под знаком предела, по своей конструкции напоминает общий член последовательности из примера 16, и при любом всегда можно указать такое натуральное число , что , а следовательно, и .

Теперь, если воспользоваться результатом решения примера 16, то

и

(если

, то по свойству бесконечно малых и бесконечно больших), а тогда по теореме 4

.

Замечание. Более короткий и эффективный способ решения этого примера без использования результата решения примера 16 дает правило Лопиталя (см. §4):

.

1. Исходя из определения предела функции, доказать, что:

1)   3)   5) ;   7) ;   9) ;   11) ;

2)   4) ;   6) ;   8) ;   10) ;   12) .

2. Исходя из определения предела числовой последовательности, доказать, что:

1)   3)   5) 7)

2)   4) ;   6)

3. Используя основные теоремы, вычислить следующие пределы:

1)   3)   5) ;   7)

2)   4) ;   6)

4. Вычислить пределы следующих последовательностей, заданных рекуррентными формулами:

1)   3)

2)

5. Доказать, что следующие переделы не существуют: