Пример 4. 3 страница

:

для x ∈(a– 𝛿, a+ 𝛿) график размещается внутри полосы, ограниченной прямыми y= A± ε.

Следует иметь в виду, что существует бесконечное множество значений 𝛿, отвечающих заданному ε, среди которых есть наибольшее. Однако если речь идет о проверке равенства

A, то достаточно найти одно значение 𝛿(или доказать его существование), соответствующее произвольному ε>0, заменив неравенство | f (x) –A| < ε более простым, к нему приводящим. При этом часто бывает удобной замена переменной x–a t.

Пример 1. Доказать, пользуясь определением предела функции, что . Каким должно быть число 𝛿>0, чтобы для x ∈(– 2 – 𝛿, ­– 2+𝛿) значения функции 2 x+ 5 отличались от 1 меньше, чем на 0,1; 0,01; 0,001?

Решение: Рассмотрим произвольное число ε >0. Надо убедиться в существовании такого числа 𝛿(ε)>0, чтобы из неравенства | x +2| <𝛿, x≠ – 2, следовало неравенство , т.е Последнее неравенство равносильно следующему: , так что можно взять 𝛿(ε)= ε/2 или любое положительное число меньше его. Значит, , ибо для любого числа ε >0 найдено 𝛿= ε/2 такое, что для всех x≠ – 2 и удовлетворяющих неравенству ,выполняется неравенство .

Полагая в формуле 𝛿(ε)= ε/2 ε=0,1; ε=0,01; ε=0,001, находим 𝛿(0,1)=0,05; 𝛿(0,01)=0,005; 𝛿(0,001)=0,0005.

Пример 2. Доказать, исходя из определения предела функции, что

Решение. Возьмем произвольное число ε >0 и выясним, существует ли такое число 𝛿>0, что из неравенства , x ≠ 1, следует неравенство . Если положить х– 1= t, то доказательство сводится к решению вопроса: найдется ли такое число 𝛿>0, чтобы из неравенства вытекало, что ?

С этого момента рассуждения можно вести по-разному. Используя известное неравенство , получим и потребуем, чтобы каждое слагаемое, стоящее в правой части, было меньше ε/2: . Полученная система неравенств равносильна следующей: , , и за 𝛿 можно взять любое число меньше и , например .

Или иначе, поскольку , то при , и . Отсюда ясно, что если , т.е. , то тем более . Последнее неравенство есть результат одновременного выполнения условий и . Поэтому, взяв , для , т.е. для , будем иметь одновременно и , и , из чего следует, что , т.е. . Значит,

Пример 3. Проверить равенство

Решение. Задавшись некоторым числом ε >0, составим неравенство . Элементарными преобразованиями он приводится к равносильному . Если неравенство верно, то существует 𝛿>0 такое, что множество значений x, определяемых условием , удовлетворяет этому неравенству. Сделав замену переменной , получим два неравенства: и , из которых первое должно быть следствием второго. Пусть , т.е. , тогда и . Поэтому если , то тем более . Приняв , нетрудно проверить, что для любого ε >0 найдено 𝛿>0 зависящее от ε, а именно такое, что для любых x≠ 3 из области определения функции, удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство , следовательно,

Пример 4. Доказать, что

Решение. Возьмем некоторое число ε >0. Чтобы убедиться в справедливости равенства, достаточно найти такое число 𝛿>0, для которого неравенство приводит к неравенству < ε. Это неравенство верно при любом х, если (ибо ). Для таких значений ε в качестве 𝛿 можно взять любое положительное число. Чтобы найти 𝛿 при ε , заметим, что условие < ε равносильно такому , т.е. . Если ε , то и .

Если же , то двойное неравенство можно заменить одним, а именно неравенством (ибо при всех х) или неравенством . В этом последнем случае, очевидно, можно взять . При ε из двух чисел и первое будет меньше (это видно из формул ; ), так что для 𝛿 можно принять то же выражение. Учитывая, что при в качестве 𝛿 можно взять любое положительное число, получаем окончательно

Тогда при таких 𝛿 для любого ε >0 из неравенства выполняется неравенство < ε, следовательно,

2.Односторонние пределы.

Число А называется левосторонним пределом функции f (x), или пределом слева, в точке х=a, если функция f (x) определена в некоторой левосторонней окрестности точки х=a, исключая, может быть, саму эту точку, и если для любого числа ε >0 существует такое число 𝛿(ε)>0, что из неравенства a – 𝛿< x < a следует неравенство | f (x) –A |< ε.

Для предела слева применяются обозначения , или f (a– 0), так что приведенное определение можно записать, например, в виде равенства равосторонний предел функции, или предел справа, определяется аналогично и обозначается

или f (a+ 0).

При a= 0 применяются обозначения , или f (– 0) для предела слева и , или f (+ 0) для предела справа.

Формально понятие предела слева(справа) получается из определения предела функции при условии и может быть изложено так: равенство

(или f (a– 0) = ) означает, что произвольной ε-окрестности точки y= можно поставить в соответствие левостороннюю δ-окрестность точки х=a, для всех точек которой, кроме, может быть, самой точки х=a, значения функции f (x) попадают в ε-окрестность точки . Аналогичный смысл имеет равенство

(или f (a+ 0) = ).

Вообще говоря, f (a– 0) ≠ f (a+ 0). Такая ситуация и представлена на рис.2, где (a – δ′, a) есть левосторонняя δ′-окрестность точки х=a, отвечающая ε-окрестности точки y= , а (a, a+ δ″) есть правосторонняя δ″-окрестность точки х=a, соответствующая ε-окрестности точки .

Условие f (a– 0) = f (a+ 0) является необходимым и достаточным условием существования . (Тогда

= f (a– 0) = f (a+ 0).)

Рис.3

Рис.2

a

L t1UKDXHTtVBSKC5JzEtJzMnPS7VVqkwtVrK34+UCAAAA//8DAFBLAwQUAAYACAAAACEAnr2jOscA AADcAAAADwAAAGRycy9kb3ducmV2LnhtbESPT2vCQBTE74LfYXmFXopurK220VVKqX/oTaMt3h7Z 1ySYfRuya5J+e7dQ8DjMzG+Y+bIzpWiodoVlBaNhBII4tbrgTMEhWQ1eQDiPrLG0TAp+ycFy0e/N Mda25R01e5+JAGEXo4Lc+yqW0qU5GXRDWxEH78fWBn2QdSZ1jW2Am1I+RtFEGiw4LORY0XtO6Xl/ MQpOD9n3p+vWx3b8PK4+Nk0y/dKJUvd33dsMhKfO38L/7a1W8DR6hb8z4QjIxRUAAP//AwBQSwEC LQAUAAYACAAAACEA8PeKu/0AAADiAQAAEwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAW0NvbnRlbnRfVHlwZXNd LnhtbFBLAQItABQABgAIAAAAIQAx3V9h0gAAAI8BAAALAAAAAAAAAAAAAAAAAC4BAABfcmVscy8u cmVsc1BLAQItABQABgAIAAAAIQAzLwWeQQAAADkAAAAQAAAAAAAAAAAAAAAAACkCAABkcnMvc2hh cGV4bWwueG1sUEsBAi0AFAAGAAgAAAAhAJ69ozrHAAAA3AAAAA8AAAAAAAAAAAAAAAAAmAIAAGRy cy9kb3ducmV2LnhtbFBLBQYAAAAABAAEAPUAAACMAwAAAAA= " fillcolor="white [3201]" stroked="f" strokeweight=".5pt">

a– δ″

a+ δ″

L t1UKDXHTtVBSKC5JzEtJzMnPS7VVqkwtVrK34+UCAAAA//8DAFBLAwQUAAYACAAAACEA8fEGocQA AADcAAAADwAAAGRycy9kb3ducmV2LnhtbERPy2rCQBTdF/yH4QpuSp34aiU6Sin1gTtNVdxdMtck mLkTMtMk/fvOotDl4byX686UoqHaFZYVjIYRCOLU6oIzBV/J5mUOwnlkjaVlUvBDDtar3tMSY21b PlJz8pkIIexiVJB7X8VSujQng25oK+LA3W1t0AdYZ1LX2IZwU8pxFL1KgwWHhhwr+sgpfZy+jYLb c3Y9uG57biezSfW5a5K3i06UGvS79wUIT53/F/+591rBdBTWhjPhCMjVLwAAAP//AwBQSwECLQAU AAYACAAAACEA8PeKu/0AAADiAQAAEwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAW0NvbnRlbnRfVHlwZXNdLnht bFBLAQItABQABgAIAAAAIQAx3V9h0gAAAI8BAAALAAAAAAAAAAAAAAAAAC4BAABfcmVscy8ucmVs c1BLAQItABQABgAIAAAAIQAzLwWeQQAAADkAAAAQAAAAAAAAAAAAAAAAACkCAABkcnMvc2hhcGV4 bWwueG1sUEsBAi0AFAAGAAgAAAAhAPHxBqHEAAAA3AAAAA8AAAAAAAAAAAAAAAAAmAIAAGRycy9k b3ducmV2LnhtbFBLBQYAAAAABAAEAPUAAACJAwAAAAA= " fillcolor="white [3201]" stroked="f" strokeweight=".5pt">

A′′

A′′ – ε

A′′ + ε

A + ε

A′

A′– ε

A′+ ε

–b

b

L t1UKDXHTtVBSKC5JzEtJzMnPS7VVqkwtVrK34+UCAAAA//8DAFBLAwQUAAYACAAAACEAkBkxS8cA AADcAAAADwAAAGRycy9kb3ducmV2LnhtbESPT2vCQBTE74V+h+UJXopu1FZL6iql+A9vNWrp7ZF9 JqHZtyG7JvHbu4VCj8PM/IaZLztTioZqV1hWMBpGIIhTqwvOFByT9eAVhPPIGkvLpOBGDpaLx4c5 xtq2/EnNwWciQNjFqCD3voqldGlOBt3QVsTBu9jaoA+yzqSusQ1wU8pxFE2lwYLDQo4VfeSU/hyu RsH3U/a1d93m1E5eJtVq2ySzs06U6ve69zcQnjr/H/5r77SC59EYfs+EIyAXdwAAAP//AwBQSwEC LQAUAAYACAAAACEA8PeKu/0AAADiAQAAEwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAW0NvbnRlbnRfVHlwZXNd LnhtbFBLAQItABQABgAIAAAAIQAx3V9h0gAAAI8BAAALAAAAAAAAAAAAAAAAAC4BAABfcmVscy8u cmVsc1BLAQItABQABgAIAAAAIQAzLwWeQQAAADkAAAAQAAAAAAAAAAAAAAAAACkCAABkcnMvc2hh cGV4bWwueG1sUEsBAi0AFAAGAAgAAAAhAJAZMUvHAAAA3AAAAA8AAAAAAAAAAAAAAAAAmAIAAGRy cy9kb3ducmV2LnhtbFBLBQYAAAAABAAEAPUAAACMAwAAAAA= " fillcolor="white [3201]" stroked="f" strokeweight=".5pt">

A

A – ε

Y

L t1UKDXHTtVBSKC5JzEtJzMnPS7VVqkwtVrK34+UCAAAA//8DAFBLAwQUAAYACAAAACEAD4cKp8QA AADcAAAADwAAAGRycy9kb3ducmV2LnhtbERPy2rCQBTdF/yH4QpuSp34aiU6Sin1gTtNVdxdMtck mLkTMtMk/fvOotDl4byX686UoqHaFZYVjIYRCOLU6oIzBV/J5mUOwnlkjaVlUvBDDtar3tMSY21b PlJz8pkIIexiVJB7X8VSujQng25oK+LA3W1t0AdYZ1LX2IZwU8pxFL1KgwWHhhwr+sgpfZy+jYLb c3Y9uG57biezSfW5a5K3i06UGvS79wUIT53/F/+591rBdBTmhzPhCMjVLwAAAP//AwBQSwECLQAU AAYACAAAACEA8PeKu/0AAADiAQAAEwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAW0NvbnRlbnRfVHlwZXNdLnht bFBLAQItABQABgAIAAAAIQAx3V9h0gAAAI8BAAALAAAAAAAAAAAAAAAAAC4BAABfcmVscy8ucmVs c1BLAQItABQABgAIAAAAIQAzLwWeQQAAADkAAAAQAAAAAAAAAAAAAAAAACkCAABkcnMvc2hhcGV4 bWwueG1sUEsBAi0AFAAGAAgAAAAhAA+HCqfEAAAA3AAAAA8AAAAAAAAAAAAAAAAAmAIAAGRycy9k b3ducmV2LnhtbFBLBQYAAAAABAAEAPUAAACJAwAAAAA= " fillcolor="white [3201]" stroked="f" strokeweight=".5pt">

Y

X

X

I zUvOT8nMS7dVCg1x07VQUiguScxLSczJz0u1VapMLVayt+PlAgAAAP//AwBQSwMEFAAGAAgAAAAh AJKARRvBAAAA3AAAAA8AAABkcnMvZG93bnJldi54bWxET0uLwjAQvgv7H8Is7E1TC+ujNhVRCt5E u+x5aMa22ExKk7Xdf28Ewdt8fM9Jt6NpxZ1611hWMJ9FIIhLqxuuFPwU+XQFwnlkja1lUvBPDrbZ xyTFRNuBz3S/+EqEEHYJKqi97xIpXVmTQTezHXHgrrY36APsK6l7HEK4aWUcRQtpsOHQUGNH+5rK 2+XPKNgZt4iH77g6/EbL+Wl/OuT5qlDq63PcbUB4Gv1b/HIfdZi/XMPzmXCBzB4AAAD//wMAUEsB Ai0AFAAGAAgAAAAhAASrOV4AAQAA5gEAABMAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAFtDb250ZW50X1R5cGVz XS54bWxQSwECLQAUAAYACAAAACEACMMYpNQAAACTAQAACwAAAAAAAAAAAAAAAAAxAQAAX3JlbHMv LnJlbHNQSwECLQAUAAYACAAAACEAMy8FnkEAAAA5AAAAEgAAAAAAAAAAAAAAAAAuAgAAZHJzL3Bp Y3R1cmV4bWwueG1sUEsBAi0AFAAGAAgAAAAhAJKARRvBAAAA3AAAAA8AAAAAAAAAAAAAAAAAnwIA AGRycy9kb3ducmV2LnhtbFBLBQYAAAAABAAEAPcAAACNAwAAAAA= "> I zUvOT8nMS7dVCg1x07VQUiguScxLSczJz0u1VapMLVayt+PlAgAAAP//AwBQSwMEFAAGAAgAAAAh AFkjOTrBAAAA3AAAAA8AAABkcnMvZG93bnJldi54bWxET01rg0AQvRf6H5Yp9NasCk3FZpUQEXIL SUrPgztdpe6suFs1/75bCPQ2j/c5u2q1g5hp8r1jBekmAUHcOt2zUfBxbV5yED4gaxwck4IbeajK x4cdFtotfKb5EoyIIewLVNCFMBZS+rYji37jRuLIfbnJYohwMlJPuMRwO8gsSbbSYs+xocORDh21 35cfq2Bv/TZbXjNTfyZv6elwqpsmvyr1/LTu30EEWsO/+O4+6jg/T+HvmXiBLH8BAAD//wMAUEsB Ai0AFAAGAAgAAAAhAASrOV4AAQAA5gEAABMAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAFtDb250ZW50X1R5cGVz XS54bWxQSwECLQAUAAYACAAAACEACMMYpNQAAACTAQAACwAAAAAAAAAAAAAAAAAxAQAAX3JlbHMv LnJlbHNQSwECLQAUAAYACAAAACEAMy8FnkEAAAA5AAAAEgAAAAAAAAAAAAAAAAAuAgAAZHJzL3Bp Y3R1cmV4bWwueG1sUEsBAi0AFAAGAAgAAAAhAFkjOTrBAAAA3AAAAA8AAAAAAAAAAAAAAAAAnwIA AGRycy9kb3ducmV2LnhtbFBLBQYAAAAABAAEAPcAAACNAwAAAAA= ">

Пример 5. Доказать, что


. (Символ [ x ] означает целую часть от числа x, т.е. наибольшее целое число, не превосходящее x.)

Решение. Для x ∈[1,2) [ x ]=1 и x/ [ x ]= x. При произвольном ε >0 неравенство можно записать так: . Следовательно, если принять , то из неравенства , с одной стороны, следует, что x ∈(1,2) (ибо 𝛿>0), а с другой стороны , что формально можно записать и так: или , следовательно, .

Чтобы доказать второе равенство, заметим, что для x ∈(2,3) неравенство переходит в неравенство или . Поэтому, взяв для , т.е. для x ∈(2,3), получим , или . Поскольку [ x ]=2, то x/ 2 = x/ [ x ], и условие есть следствие неравенства . Значит, .

3.Предел функции в бесконечно удаленной точке.

Понятие предела функции, естественно, обобщается на тот случай, когда a не есть конечное число, если ввести понятие окрестности бесконечно удаленной точки как множества всех значений х, для которых | x | > b, где b> 0 — произвольное число. Тогда равенство по определению означает, что всякому числу можно поставить в соответствие число b (ε) > 0, такое, что при | x |> b выполняется неравенство | f (x)– A |< ε.

Число b (ε), зависящее от выбранного ε, играет в этом определении ту же роль, что число 𝛿(ε) в определении предела

. Каждому значению ε отвечает бесконечное множество значений b, среди которых есть наименьшее, соответствующее наибольшей окрестности бесконечно удаленной точки.

Геометрический смысл записи

виден на рис.3 произвольной ε-окрестности точки y=A можно сопоставить окрестность бесконечно удаленной точки, т.е. множество x таких, что | x |> b, для всех точек которой A – ε < f (x)< A + ε, т.е. график функции размещается в полосе, ограниченной прямыми у=А± ε.

В частности, если x→+∞ или x→ –∞, определение предела функции выглядит следующим образом:

число А называется пределом функции f (x) при x→+∞

), если для любого положительного числа ε существует число b, такое, что как только x > b, выполняется неравенство | f (x)– A |< ε (рис.4);

число А называется пределом функции f (x) при x→ –∞

), если для любого положительного числа ε существует число b, такое, что как только x < b, выполняется неравенство | f (x)– A |< ε (рис.5).

Понятия, определяемые равенствами

,

обобщают понятия односторонних пределов функции. Рис.4 и 5 дают их геометрическую интерпретацию.

Пример 6. Доказать, что

. Каким должно быть число b, чтобы для | x| > b значения функции отличались от 9/4 меньше, чем на 0,1; 0,002; 0,000005?

Решение. Пусть ε >0 — произвольное число. Доказываемое утверждение верно, если существует b> 0 такое, что при | x| > b выполняется неравенство | f (x)–9/4|< ε, т.е. , или . Последнее неравенство равносильно следующему: | x| > 5/(4ε), так что положив b= 5/(4ε), при | x| > b получим как следствие , или . Следовательно, .

На остальные вопросы получаем ответ простым вычислением значений b (ε) = = 5/(4ε) при ε, равном 0,1, 0,002 и 0,000005, который можно оформить так:

ε	0,1	0,002	0,000005
b	12,5

Пример 7. Доказать, что

Решение. Исходя из определения предела функции, для любого ε >0 надо найти такое b, что для всех x<b выполняется неравенство ε.

Преобразуем последнее неравенство:

и потребуем, чтобы каждое из слагаемых было меньше ε/2, тогда их сумма будет меньше ε: 1/| x|< ε/2, 1/ x²< ε/2, или | x|> 2/ ε, | x|> .

Так как x→ – ∞, то можно считать x< 0 и тогда | x|= –x, и система неравенств будет равносильной следующей: –x >2/ε, –x> или x < – 2/ε, x<– . Вместо b можно взять, например, min{ – , – }. Итак, для всех x < min{ – , – } при любом ε >0 выполняется неравенство ε, следовательно, .