Деформации кручения

Рис.1. Крутильный маятник.

Рассмотрим стержень в виде прямого кругового цилиндра радиуса r, верхнее основание которого закреплено, а в некотором произвольном сечении, расположенном на расстоянии L от закрепленного, приложена пара касательных сил F_t, момент которых по величине равен M = [FxL] и направлен вдоль оси цилиндра. Под действием вращающего момента все сечения цилиндра поворачиваются на угол j тем больший, чем дальше эти сечения расположены от закрепленного основания. При упругих деформациях угол кручения пропорционален вращающему моменту: φ = (1/D)M. Деформации кручения являются частным случаем сдвиговых деформаций, поскольку любое нижнее сечение испытывает сдвиг относительно верхнего. Поэтому модуль кручения можно выразить через модуль сдвига. Детальный расчет приводит к следующему выражению: D = G(πγ⁴)/(2L).

Контрольные вопросы.

1. Какие деформации называются упругими?.

2. Сформулируйте и запишите закон Гука применительно к деформациям кручения и сдвига.

3. Какой физический смысл модуля кручения и модуля сдвига?

Методика эксперимента.

Крутильный маятник представляет собой пластину, закрепленную на толстой упругой проволоке, другой конец которой зажат, в неподвижном кронштейне. При повороте тела, закрепленного на упругом подвесе, на достаточно малый угол происходит закручивание проволоки, под действием сил которой возникает возвращающий момент упругих сил M_воз. = - kd, где k – коэффициент кручения, который зависит от свойств подвеса. Предоставленный самому себе маятник, совершает крутильные колебания. Гармоническим крутильным колебанием тела называется периодическое движение относительно оси, проходящей через центр тяжести этого тела, когда угол отклонения от положения равновесия изменяется по закону синуса или косинуса. Например φ = φ sin(2π/T)t. При достаточно малых амплитудах колебаний и силах трения, в системе крутильные колебания можно считать гармоническими и происходящими с периодом T где T = 2π√I/D. Здесь I - момент инерции колеблющегося тела относительно оси вращения; D - модуль кручения. Для выражения для периода колебаний можно определить момент инерции исследуемого тела I = (TD)/4π. Для определения момента инерции тела из этой формулы необходимо исключить неизвестную величину D. С этой целью симметрично оси колебаний помещают добавочные грузы - полые цилиндры одинаковой массы. После этого период крутильных колебаний системы изменится и станет T = 2π√(I + I₀/D). Где I₀ - момент инерции двух одинаковых добавочных грузов относительно оси вращения, определяется I₀ = m(2S² + R²). Здесь S - расстояние между осью вращения и цилиндром; R -радиус цилиндра; m - масса цилиндра; I - момент инерции цилиндра относительно оси симметрии. Решив совместно уравнения, найдем: I = (I₀T₁²)/(T₀² – T₁²). Заменив в этом выражении I₀ с помощью соотношения, получим формулу для определения момента инерции исследуемого тела сложной геометрической формы: I=m(2S²+R²) (T₁²)/(T₀²–T₁²).