Обоснование выбора аппроксимации

Первой задачей синтеза является нахождение передаточной функции, воспроизводящей требуемые характеристики фильтра. Именно с неё начинается проектирование фильтра. АЧХ фильтра, удовлетворяя условиям физической реализуемости и техническим требованиям, должна наилучшим образом приближаться к идеальной АЧХ. Процесс отыскания передаточной функции называется - аппроксимацией. В зависимости от вида функции фильтрации получают различные типы фильтров. Если в качестве функции фильтрации используют полиномы, то фильтры называются полиномиальными. Среди полиномиальных фильтров широкое использование нашли фильтры Баттерворта и Чебышева. Если это дробно-рациональная функция, например, дробь Золотарева, то получают фильтр Золотарева. Рассмотрим три вида аппроксимации:

Аппроксимация полиномом Баттерворта:

Аппроксимация по Баттерворту чаще всего используется, когда требуется спроектировать фильтр с максимально плоской амплитудной характеристикой в полосе пропускания, и при этом не ставятся жесткие требования по обеспечению высокой скорости затухания вне полосы пропускания. Фильтр Баттерворта с максимально плоской АЧХ в полосе пропускания вносит фазовые искажения, особенно вблизи частоты среза, и временную задержку.

Основным недостатком данной аппроксимации является малая крутизна АЧХ, зависящая от порядка фильтра n. Чем больше степень n, тем выше крутизна характеристик. Однако от порядка фильтра зависит количество реактивных элементов (емкостей и индуктивностей) в его схеме. Таким образом, увеличение порядка фильтра приводит к усложнению самого фильтра, удорожанию и что самое важное, фильтр с увеличением порядка становится очень чувствительным к разбросу номиналов его компонент и требует точной прецизионной настройки.

Определим порядок n аппроксимации по Баттерворту:

Аппроксимация полиномом Чебышева:

Аппроксимация по Чебышеву обеспечивает большую крутизну затухания в полосе задерживания и лучшую избирательность (при любых расстройках) по сравнению с аппроксимацией по Баттерворту. Кроме того имеет достаточную точность аппроксимации при невысоком порядке фильтра, но имеет неравномерность АЧХ в полосе пропускания

Определим порядок n аппроксимации по Чебышеву:

Аппроксимация дробью Золотарева:

В рассмотренном выше способе аппроксимации АЧХ фильтра носит колебательный характер в полосе пропускания и максимально-гладкая в полосе заграждения, в то время как АЧХ фильтра Золотарева носит колебательный характер как в полосе пропускания, так и в полосе подавления. Аппроксимация по Золотарёву обеспечивает наивысшую крутизну передаточной функции в переходной области (т. е. наибольшую избирательность при малых расстройках) при малом порядке фильтра, однако при больших расстройках избирательность может оказаться хуже, чем у фильтров, аппроксимированных по Чебышеву и Баттерворту. В полосе заграждения некоторые частоты полностью подавляются (нули передачи).

Определим порядок n аппроксимации по Золотареву:

,

где найдем из таблицы 2 приложения 2. Получим:

Воспользуемся аппроксимацией по Чебышеву, что обеспечит лучшую избирательность по сравнению с аппроксимацией по Баттерворту и достаточную точность аппроксимации при невысоком порядке фильтра.