Образец выполнения здания

1. Вычислить площади фигур, ограниченных линиями x - 2y + 4 = 0, y = 0 и x + y – 5 = 0.

Решение. Выполним построение фигуры. Построим прямую x - 2y + 4 = 0: y = 0, x = -4, A(-4; 0); x = 0, y = 2, B(0; 2). Построим прямую x + y – 5 = 0: y = 0, x = 5, C (5; 0); x = 0, y = 5, D(0; 5).

Найдем точку пересечения прямых, решив систему уравнений:

Для вычисления искомой площади разобьем треугольник AMC на два треугольника AMN и NMC, так как при изменении x от A до N площадь ограничена прямой x - 2y + 4 = 0, а при изменении x от N до С – прямой x + y – 5 = 0.

Для треугольника AMN имеем: x - 2y + 4 = 0; y = 0,5x + 2, т.е. f(x) = 0,5x + 2, a = -4, b = 2. Для треугольника NMC имеем: x + y – 5 = 0, y = 5 – x, т.е. f(x) = 5 – x, a = 2, b = 5.

Ответ. S = 13, 5 кв. ед.

2. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Оx фигуры ограниченной осью Ox и полуволной синусоиды y = sin x (0 ≤ x ≤ π).

Решение. Выполним построение. По формуле , получим

Ответ: V = (куб. ед.)

Выполнить задания:

В задачах 1 – 4 найти площадь плоской фигуры, ограниченной линиями:

1) x – y + 2 = 0, y = 0, x = -1, x = 2.

2) x – y + 3 = 0, x + y – 1 = 0, y = 0.

3) y = x², y = 0, x = 0, x = 3.

4) y = cos x, y = 0, x = 0, x = π/2.

В задачах 5 – 8 найти объемы тел вращения, образованных вращением вокруг оси Оx площадей, ограниченных линиями:

5) y² – 4x = 0, x – 2 = 0, x – 4 = 0, y = 0.

6) y² – x + 1 = 0, x – 2 = 0, y = 0.

7) y = - x² + 2x, y = 0.

8) y² = 2x, x – 2 = 0.

4. Ответы на контрольные вопросы.

1. Что называется мгновенной скоростью изменения функции?

2. Дайте определение производной функции.

3. Сформулируйте общее правило нахождения производной функции.

4. Объясните геометрический смысл производной.

5. Сформулируйте основные правила дифференцирования.

6. Чему равна производная постоянной?

7. Какую функцию называют сложной? Приведите примеры.

8. Как вычисляется производная сложной функции?

9. Как найти угловой коэффициент касательной к графику данной функции?

10. Какие физические задачи решаются с применением производной?

11. Что называется производной второго порядка?

12. В чем заключается физический смысл второй производной?

13. Объясните, как применяется производная для исследования функции на возрастание и убывание?

14. Дайте определение максимума и минимума функции.

15. Укажите необходимое и достаточное условие максимума и минимума.

16. Изложите правило исследования функции на максимум и минимум.

17. Как определяется с помощью производной выпуклость функции вверх и вниз?

18. Какое действие называется интегрированием?

19. Что называется первообразной функции?

20. Дайте определение неопределенного интеграла.

21. Как проверить результат интегрирования?

22. Сформулируйте основные свойства неопределенного интеграла.

23. Напишите формулу Ньютона-Лейбница и объясните ее смысл.

24. Сформулируйте основные свойства определенного интеграла.

25. Объясните геометрический смысл определенного интеграла.

5. Подготовка презентаций по использованию производной и интеграла.

- «Физический смысл производной. Решение физических задач с применением производной»

- «Исследование функций с помощью производной»

- «Применение производной при решении задач на нахождение наибольшего и наименьшего значений»

- «Использование интеграла для вычисления площадей фигур»

- «Использование интеграла для нахождения объемов тел вращения»