Основні вимоги до математичних моделей і їх властивості

Правильна побудова математичної моделі досліджуваної задачі – основна умова успішної розробки проекту. Неправильно побудована модель може призвести до помилкових висновків і виявитися неекономічною під час експлуатації. Правильно розроблена модель може істотно поліпшити економічні результати діяльності фірми або ефективність функціонування організації. Розроблення моделі для аналізу досліджуваного виду діяльності вимагає творчого підходу. Крім того, щоб правильно зрозуміти сутність досліджуваної проблеми, необхідно зібрати і ретельно проаналізувати великий обсяг даних. Практичного значення модель набуває за умови, що її вивчення наявними засобами доступніше, ніж вивчення самого об’єкта. З усього сказаного випливають такі вимоги до моделі:

- адекватність (відповідність моделі своєму оригіналу);

- простота (відсутність другорядних факторів);

- об’єктивність (відповідність наукових висновків реальним умовам);

- чутливість (здатність моделі реагувати на зміну параметрів);

- стійкість (малому збурюванню вихідних параметрів повинна відповідати мала зміна розв’язання задачі (моделі));

- універсальність (широта області застосування).

У теорії оптимізації у наш час розроблено велике число моделей і методів розв’язання різних класів задач (див. підрозділ 1.4). Тому під час побудови математичної моделі будь-якої задачі виникають проблеми ідентифікації: чи можна використовувати відому модель для формалізації даної задачі, а якщо ні, то у якій мірі потрібна переробка (пристосування) відповідної моделі? Процес ідентифікації математичної моделі і методу розв’язання задачі показаний на схемі, що наведена на рисунку нижче.

Розглянемо такий процес на прикладі.

Приклад 1.10 (Задача розміщення підприємств). З метою розширення сфери діяльності фірма планує відкрити кілька нових філій. Пункт i є однією з можливих точок розміщення нової філії потужністю S_i, а постійні витрати пов’язані з його експлуатацією, дорівнюють F_i ≥ 0 незалежно від фактичного обсягу випуску. Існує усього m можливих пунктів (i =1,2,…, m) розміщення, але відкривати філії у всіх цих пунктах нераціонально. Для кожного пункту i виготовлення і пункту j збуту відомі: c_ij ≥ 0 – сукупні виробничі і транспортні витрати; F_ij ≥ 0 – деякі постійні витрати (F_ij не залежить від обсягу перевезень x_ij > 0, однак для x_ij = 0 ® F_ij = 0). Потрібно вибрати такі пункти розміщення нових підприємств, щоб сумарні витрати були мінімальні.

Для побудови математичної моделіцієї задачі, виходячи зі схожості умов, слід орієнтуватися на модель класичної транспортної задачі, сформульованої у підрозділі 1.4 і яка має вигляд

(сумарні транспортні витрати) (1.5)

за обмежень:

(пропозиція); (1.6)

(попит); (1.7)

x_ij ≥ 0 (обсяг перевезень) (1.8)

Для нашого прикладу введемо позначення:

U_ij = min (а_i, b_j).

Тоді замість функції(1.5) отримаємо сумарні витрати у вигляді:

. (1.9)

Замість обмеження (1.6) на потужності постачальників вводимо обмеження на пропускні здатності маршрутів

, (1.10)

при цьому обмеження (1.7) за попитом споживачів залишається без змін:

. (1.11)

Побудову моделі ще не закінчено. Слід забезпечити, щоб умова x_ij > 0 виконувалося тільки у випадку, коли z_ij = 1. Це досягається за допомогою лінійних обмежень:

x_ij ≤ U_ij z_ij для будь-яких i, j = 1,..., m. (1.12)

Крім того,

х_ij ≥ 0, i, j = 1,..., m. (1.13)

Тепер можна сказати, що модель (1.9) - (1.13) задачі 1.10 отримана у результаті модифікації моделі (1.5) - (1.8) класичної транспортної задачі.