Свойства отношений

Ранее мы установили, что в математике изучают разнообразные отношения между двумя объектами. Каждое из них рассматривается на некотором множестве X и представляет собой множество пар.

Но как изучить такое количество отношений? Нельзя ли их каким-либо образом классифициро­вать? Оказывается, можно. Для этого нужно выделить свойства отношений.

Рассмотрим на множестве отрезков, представленных на рисун­ке 61, отношения параллельности1, перпендикулярности, равенства и «длиннее». Построим графы этих отношений (рис. 62).

Чем объясняется сходство графов отношений параллельности и равенства? Или графов отношений перпендикулярности и параллельности? Очевидно, тем, что эти пары отношений обладают «похожими» свойствами. Какими?

Рассмотрим графы отношений параллельности и равенства. Они имеют петли, которые говорят о том, что, какой бы отрезок из множества X мы ни взяли, о нем можно сказать, что он паралле­лен самому себе или что он равен самому себе.

Про отношения параллельности и равенства говорят, что они

__________________________

1 При этой будем исходить из следующего определения отношения параллель­ности: прямые называются параллельными, если они лежат в одной плоскости, не имеют общих точек или совпадают.

обладают свойством рефлексивности или, просто, что они рефлек­сивны.

Определение. Отношение R на множестве X называется рефлексивным, если о любом элементе множества X можно сказать, что он находится в отношении R с самим собой.

Данное определение можно записать короче:

Как мы уже заметили, если отношение R рефлексивно, то в каждой вершине графа имеется петля. Справедливо и обратное: граф, каждая вершина которого имеет петлю, представляет собой граф некоторого рефлексивного отношения.

Существуют отношения, которые свойством рефлексивности не обладают. Таким, например, является отношение перпендикуляр­ности (рис. 62): нет ни одного отрезка в множестве X, о котором можно было бы сказать, что он перпендикулярен самому себе.

Обратим теперь внимание на графы отношений параллельности, перпендикулярности и равенства отрезков. Их особенность в том, что если есть одна стрелка, соединяющая пару элементов, то обя­зательно есть и другая, соединяющая те же элементы, но идущая в противоположном направлении. Эти стрелки говорят о том, что:

1) если первый отрезок параллелен второму отрезку, то и второй отрезок параллелен первому;

2) если первый отрезок перпендикулярен второму отрезку, то и второй отрезок перпендикулярен первому;

3) если первый отрезок равен второму отрезку, то и второй от­резок равен первому.

Про отношения параллельности, перпендикулярности и равенства говорят, что они обладают свойством симметричности или, просто, симметричны.

Определение. Отношение R на множестве X называется симметричным, если из того, что элемент х находится в отноше­нии R с элементом у, следует, что и элемент у находится в отношении R с элементом х.

Короче:

Граф симметричного отношения обладает особенностью: вместе с каждой стрелкой, идущей от х к у, граф содержит и стрелку, идущую от у к х. Справедливо и обратное утверждение: граф, содержащий вместе с каждой стрелкой, идущей от х к у, и стрелку, идущую от у к х, является графом симметричного отношения.

Существуют отношения, которые свойством симметричности не обладают. Таким, например, является отношение «длиннее» для отрезков.

Рассмотрим граф этого отношения. Его особенностью является, то, что если стрелка соединяет две вершины, то она только одна. Про отношение «длиннее» говорят, что оно обладает свойством антисимметричности или, просто, антисимметрично.

Определение. Отношение R на множестве X называется антисимметричным, если для различных элементов л: и у из множест­ва X из того, что элемент х находится в отношении R с элементом у, следует, что элемент у в отношении R с элементом х не находится.

Короче:

Граф антисимметричного отношения обладает особенностью: если две вершины графа соединены стрелкой, то эта стрелка только одна. Справедливо и обратное утверждение: граф, вершины ко­торого соединяются только одной стрелкой, является графом антисимметричного отношения.

Не следует думать, что все отношения делятся на симметричные и антисимметричные. Встречаются отношения, которые не обладают ни свойством симметричности, ни свойством антисимметричности. Рассмотрим, например, отношение «быть братом» на мно­жестве детей одной семьи. Пусть в семье трое детей: Коля, Миша, Таня. Тогда граф отношения «быть братом» будет таким, как на рисунке 63.

Он показывает, что данное отношение не обладает ни свойст­вом симметричности, ни свойством антисимметричности.

Обратим внимание еще на одну особенность графов отношений параллельности, равенства и «длиннее» (эта особенность не сразу заметна): если стрелка идет от первого элемента ко второму и от второго — к третьему, то обязательно есть стрелка, идущая от первого элемента к третьему. Эта особенность графов отражает свойство данных отношений, называемое свойством транзитив­ности.

Определение. Отношение R на множестве X называется транзитивным, если из того, что элемент х находится в отношении R с элементом у и элемент у находится в отношении R с элементом z, следует, что элемент х находится в отношении R с элементом г.

Короче:

Граф транзитивного отношения с каждой парой стрелок, идущих от х к у и от у к Z, содержит и