Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
Если функция дифференцируема для каждого , то операция дифференцирования ставит в соответствие функции новую функцию – производную функцию . Одна из возможных физических трактовок этой операции – определение скорости движения по функции, задающей пройденное расстояние за время движения. С точки зрения приложений естественной является обратная операция, а именно определение пройденного пути по известной скорости движения, как функции времени. Более формально, последняя операция есть операция определения функции по ее производной.
Далее буквой обозначаем одно из следующих подмножеств :
,
где . Множества такого вида мы будем называть промежутками.
Для функции положим
.
Аналогичным образом определяется производная в концах промежутка , принадлежащих , во всех остальных случаях.
Определение 1. Пусть . Функция называется примитивной (первообразной) функции на , если существует и .
Замечание1. Из Определения 1 следует, что примитивная некоторой функции на непрерывна на .
Пример 1. Для функции , примитивной на является функция
Пример 2. Для функции примитивной на является функция
Пример 3. Для функции примитивной на является функция
В связи с понятием первообразной возникают следующие вопросы:
1) Всякая ли функция имеет первообразную?
2) Для каких функций можно гарантировать существование первообразной?
3) Сколько первообразных может иметь одна и та же функция?
Для ответа на первый вопрос на интервале рассмотрим функцию
Функция примитивной не имеет. Действительно, предположим, что такова, что для любого . По формуле конечных приращений Лагранжа .
Отсюда . Однако . Полученное противоречие доказывает, что предположение о существование примитивной функции было неверно.
Ответ на второй вопрос дает
Теорема 1 (О существовании первообразной). Если функция непрерывна, то у нее существует первообразная.
Ответ на третий вопрос содержится в следующей теореме.
Теорема 2. Если – какая-нибудь первообразная функции , то формула
,
где – любая постоянная, дает общий вид первообразных для .
Определение 2. Совокупность всех примитивных функций функции называется неопределенным интегралом от функции и обозначается через
.
Процедура определения примитивной, или неопределенного интеграла для функции , называется интегрированием .
Таблица интегралов.
Используя таблицу производных, мы можем составить таблицу некоторых интегралов. Вот эта таблица:
1. ,
2. ,
3. ,
4. ,
5. ,
6. ,
7. ,
8. ,
9. (в частности ),
10. ,
11. ( -натуральное число),
12. ( -натуральное число).
13. ,
14. ,
15. ,
16. .
Все эти формулы проверяются непосредственным дифференцированием, т. е. производная от правой части формулы всегда равна подынтегральной функции в левой части.
Отметим некоторые частные случаи формулы 1:
(, означает интеграл от подынтегральной функции, тождественно равной единице),
,
.
Упомянем ещё и такую очевидную формулу: , т. е. первообразные от функции, тождественно равной 0, суть постоянные.
Теперь дадим одно существенное дополнение к формуле 2. Функция непрерывна как и в интервале , так и в интервале . Однако формула 2 в том виде, как это записано выше, имеет смысл только при . Оказывается, что если ей придать вид
2'. ,
то она будет справедливой в обоих промежутках и . Действительно, при формула 2' совпадает с табличной формулой 2. Если же , то , и непосредственной проверкой, с помощью правила дифференцирования сложной функции, находим, что
.
Дата публикования: 2015-09-18; Прочитано: 226 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!