Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
Определение 1. Пусть , . Говорят, что функция имеет в точке локальный максимум, если найдется такое, что:
1)
2)
Локальный максимум называется строгим, если найдется такое, что
Аналогично определяется понятие локального минимума и строгого локального минимума.
Точки локального минимума и локального максимума называются точками локального экстремума.
Теорема 1 (необходимое условие экстремума). Пусть точка локального экстремума. Если существует , то .
Определение 2. Точка , внутренняя для множества , называется критической (стационарной) точкой функции , если в ней существуют и равны нулю все частные производные первого порядка.
Каждая точка локального экстремума является критической. Обратное неверно.
Пример 1. Пусть Тогда точка - критическая точка функции , но не точка локального экстремума этой функции.
Достаточное условие локального экстремума.
Определение3. Матрица размера называется положительно определенной, если произведение
Теорема 2 (Критерий Сильвестра положительной определенности матрицы).
Пусть
Матрица положительно определена тогда и только тогда, когда
Определение 4. Матрица размера называется отрицательно определенной, если произведение
Очевидно, матрица отрицательно определена тогда и только тогда, когда матрица положительно определена.
Теорема 3 (Критерий отрицательной определенности матрицы).
Матрица отрицательно определена тогда и только тогда, когда
Определение5. Матрица называется неопределенной, если найдутся
такие, что
Теорема 4. Пусть - открытое множество, , . Допустим, что функция в каждой точке множества имеет все частные производные до второго порядка включительно и эти производные непрерывны. Пусть - критическая точка функции . Тогда:
1) если матрица положительно определена, то есть точка строгого локального минимума;
2) если матрица отрицательно определена, то есть точка строгого локального максимума;
3) если матрица является неопределенной, то не является точкой локального экстремума.
Случай .
Рассмотрим функцию двух переменных, для которой - критическая точка. Матрица вторых производных имеет вид
.
Положим
, .
Логически возможны три случая:
Случай 1:
Случай 2:
Случай 3:
В первом случае Если
,
то - точка строгого локального минимума. Если
,
то - точка строгого локального максимума.
Во втором случае дискриминант квадратного трехчлена
положителен. Следовательно, найдутся и такие, что
Значит матрица является неопределенной, и локального экстремума в точке нет.
В третьем случае в точке экстремум может как быть, так и не быть.
Пример 2. Пусть . Тогда Следовательно точка критическая. Очевидно, у функции в точке экстремума нет.
Так как то в точке , и тем самым
Пример 3. Пусть Очевидно, у функции в точке экстремум, Поэтому
Дата публикования: 2015-09-18; Прочитано: 203 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!