Приклад 6

Дано вектори =(3,-4) і = (2,-7). Довести, що вони утворюють базис площини і знайти коефіцієнти розкладу вектора =(2,-19) за векторами і

Розв'язання: Базис площини утворюють будь-які два колінеарні вектори. Так як , то за теоремою 7 і неколінеарні, а значить утворюють базис площини. Тоді розклад вектора по базису має вигляд: . Перейдемо до координат:

Отже, .

Лекція №4. Скалярний добуток векторів та його властивості.

Відкладемо ненульові вектори і від точки О: , (рис.7). Кут АОВ називається кутом між векторами і і позначається ( ˆ )= α. Кут між векторами вибирається меншим або рівним π. Рис.7

Для розв'язування метричних задач використовуються ортонормований базис , , де | |=| |=| | і всі кути між цими векторами рівні 90°.

Скалярним добутком двох ненульових векторів називається число яке дорівнює добутку модулів цих векторів на косинус кута між ними (позначають ).

Відмітимо, що добуток являє собою алгебраїчне значення ортогональної проекції вектора на напрямок вектора (рис.7) (позначають ). Тому мають місце рівності:

.

З'ясуємо фізичний зміст скалярного добутку.

Якщо матеріальна точка під дією сили перемістилася з точки М в точку N вздовж вектора , то робота А, виконана цією силою, дорівнює . Отже, робота дорівнює скалярному добутку вектора, який зображує переміщення на вектор сили.

Скалярний добуток нуль-вектора і довільного вектора покладається рівним нулю.

З означення скалярного добутку отримаємо формулу для знаходження косинуса кута між векторами:

(4)