Теорема 5

Якщо вектори , , некомпланарні, то для будь-якого вектора існують єдині числа α,β,γ такі, що

=α +β +γ (3)

Доведення:

Відкладемо від деякої точки О простору вектори , , і (рис. 6). Так як вектори , , не компланарні, то точки О, А, В, С не належать одній площині.

Якщо точка Р належить прямій ОС, то вектори і колінеарні, отже за теоремою 1 існує таке єдине число γ, що =0· +0· +γ· . Нехай точка Р не належить прямій ОС. Проведемо через точку Р пряму РР₁//ОС, де Р₁ точка перетину цієї прямої з площиною (ОАВ). Так як вектори , і компланарні, то за теоремою 4 існують такі єдині числа α і β, що =α· +β· . Крім того вектори і – колінеарні, тому згідно теореми 1 існує таке єдине число γ, що вектор . Але за правилом трикутника , тому , де числа α,β,γ – єдині.