Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
Элементы векторной алгебры
Теоретические основы темы и решение типовых задач
Понятие вектора. Прямоугольная декартова система координат
Величины, которые характеризуются не только числовым значением, но и направлением, называются векторными.
Отрезок, имеющий определенную длину и определенное направление, называется вектором. О всяком отрезке из этого множества говорят, что он представляет вектор (получен приложением вектора к точке ).
Вектор, длина которого равна единице, называется единичным вектором или ортом.
Векторы, параллельные одной и той же прямой, называются коллинеарными. Два вектора называются равными, если они коллинеарны, направлены в одну сторону и имеют одинаковую длину.
Пусть на плоскости задана прямоугольная система координат.
Прямоугольной системой координат на плоскости называется упорядоченная пара двух взаимно перпендикулярных координатных осей Ох и Оу (рис. 3.1). Точка О – начало координат. Векторы , – единичные векторы, направленные вдоль осей Ох, Оу соответственно. Они называются базисными векторами прямоугольной системы координат (или ортами).
Проекции вектора на координатные оси Ох и Оу, обозначим через и (рис. 3.1). Эти проекции вектора называются его координатами.
Рис. 3.1 |
, (3.1)
где точки А и В имеют координаты соответственно () и (). Тот факт, что вектор имеет координаты может быть записан так:
. (3.2)
Иначе, вектор представлен в разложении по базису , .
Расстояние между точками плоскости А и В, имеющими координаты соответственно () и (), определяются по формуле
. (3.3)
По этой же формуле определяется длина отрезка или модуль вектора .
Координаты () средины отрезка определяются по формулам:
; . (3.4)
Если вектор имеет координаты , т. е. задана прямоугольная система координат в пространстве, его можно записать так:
, (3.5)
т. е вектор представлен в разложении по базису . Векторы – единичные векторы, направленные вдоль осей Ох, Оу, Оz соответственно.
Координаты вектора находятся по формулам:
, (3.6)
где точки А и В, имеют координаты соответственно () и (). Расстояние между точками А и В, имеющими координаты соответственно () и (), определяются по формуле
. (3.7)
По этой же формуле определяется длина отрезка или модуль вектора .
Координаты () средины отрезка определяются по формулам:
; ; . (3.8)
В общем случае, модуль вектора , заданного своими декартовыми координатами, находится по формуле
. (3.9)
Единичный вектор , сонаправленный с вектором , находится по формуле
. (3.10)
Для операций сложения, вычитания и умножения вектора на число справедливы следующие соотношения:
; (3.11)
; (3.12)
, (3.13)
где = ; = ; = .
Дата публикования: 2015-09-17; Прочитано: 343 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!