Иванова Е.П

Лекции по

Математическому анализу

Факультет

Курс 3 семестр

Лектор:

Иванова Е.П.

2006 г.

Кратные интегралы. 3

Интеграл Римана на -мерном промежутке. 3

Необходимое условие интегрируемости по Риману. 4

Лебегова мера ноль. 4

Критерий Дарбу интегрируемости функции по Риману. Верхние и нижние суммы Дарбу. 5

Интеграл по множеству. Допустимые множества. 5

Общие свойства интеграла. 7

Сведение кратного интеграла к повторному. Теорема Фубини. 8

Замена переменных в кратном интеграле. Формула Грина. 9

Геометрический смысл модуля якобиана отображения. 11

Приложения кратных интегралов. 13

Дифференциальная геометрия. 13

Векторная функция скалярного аргумента. 13

Касательная как предел секущей. 14

Длина кривой. Спрямляющая кривая. Натуральная параметризация. 14

Основной трёхгранник кривой. Формулы Френе. 15

Геометрический смысл величин k и æ. 16

Вид кривой вблизи произвольной точки. 17

Поверхности и дифференциальные формы в ....... 18

Поверхность в Евклидовом пространстве. 18

Ориентация поверхности. 19

Край поверхности и его ориентация. 20

Согласование ориентации поверхности и её края. 20

Касательное пространство к поверхности. 21

Касательная к поверхности в ....... 21

Площадь поверхности в Евклидовом пространстве ....... 22

Площадь поверхности в ....... 24

Первая квадратичная форма поверхности. 24

Длина кривой на поверхности. 25

Алгебра форм.. 26

Алгебра кососимметрических форм.. 27

Дифференциальные формы.. 29

Координатная запись дифференциальной формы. 30

Дифференциальные операторы векторного анализа. Их связь с дифференциальными формами. 31

Перенос форм при отображениях. 32

Координатная запись форм, возникающих при переносе. 33

Криволинейные и поверхностные интегралы. 34

Интегралы от формы работы, потока. Форма объёма. 35

Интегралы I и II рода. 38

Общая формула Стокса. 38

Элементы векторного анализа. 39

Дифференциальные операции векторного анализа. 39

Формула Ньютона-Лейбница. 40

Формула Стокса. 40

Формула Остроградского-Гаусса. 40

Геометрическая интерпретация ротора и дивергенции. 40

Потенциальные поля. 41

Замкнутые и точные формы.. 42

Соленоидальные поля. 42

Кратные интегралы.