Со стальным сердечником

Применение метода эквивалентных синусоид позволяет использовать векторные диаграммы при анализе процессов в катушке с ферромагнитным сердечником.

Для построения векторной диаграммы воспользуемся уравнением (2.7). За исходный принимаем вектор магнитного потока .

При этом учтем, что напряжение уравновешивает ЭДС , наводимую в обмотке w основным магнитным потоком :

.

Так как основной поток синусоидален , то эта ЭДС будет

(2.9)

Из выражения (2.9) следует, что ЭДС отстает от магнитного потока на угол , а напряжение опережает ток на угол , т.е. находится в противофазе с .

Построение векторной диаграммы (рис.2.14) в электромагнитных устройствах обычно начинают с потока , т.к. он является общим для всех элементов. От вектора потока под углом откладываем ЭДС и в противофазе ей - напряжение .

Далее откладываем ток под углом a к вектору потока . Угол a называется углом потерь и определяется шириной петли гистерезиса, т.е. коэрцитивной силой.

Из конца вектора проводим вектор параллельно току и под углом в сторону опережения из конца вектора строим вектор . Соединив начало вектора с концом вектора , получим вектор напряжения сети .

Порядок построения векторной диаграммы можно записать в виде

.

При анализе процессов в катушке со стальным сердечником возможны два подхода.

1. Разложим вектор напряжения на активную и реактивную составляющие. Для этого спроецируем вектор на вектор тока (рис.2.15). Активная составляющая совпадает по фазе с током , а реактивная - опережает ток по фазе на угол 90^°.

Аналитически величины и можно записать в виде:

Реактивную мощность называют намагничивающей мощностью.

Таким образом, если в уравнении (2.7), записанном для действующих значений, напряжение представить в виде суммы двух составляющих получим последовательную схему замещения дросселя (рис.2.16).

2. Разложим вектор тока на активную и реактивную составляющие. Для этого спроецируем вектор тока на напряжение (рис.2.17). На векторной диаграмме составляющая находиться в фазе с вектором , - отстает по фазе от вектора на угол 90^° и совпадает по фазе с вектором . Составляющая носит название тока намагничивания.

Аналитически эти величины можно записать в виде

где и - соответственно активная и реактивная проводимости.

В результате такого подхода получаем схему замещения дросселя с параллельным соединением активной и реактивной проводимостей (рис.2.18).

Активная мощность P, потребляемая дросселем, слагается из потерь в обмотке (потери в меди) , обусловленных наличием сопротивления провода r, и потерь в сердечнике (потери в стали) , обусловленных явлениями гистерезиса и вихревыми токами

.

Каждый из элементов, входящих в схему замещения, отображает определенные физические процессы, протекающие в реальной катушке с ферромагнитным сердечником при протекании по ней переменного тока:

- активное сопротивление, учитывающее потери активной мощности в сопротивлении проводов обмотки (потери в меди);

- реактивное сопротивление, учитывающее реактивную мощность, идущую на создание магнитного потока рассеяния ;

- активное сопротивление (активная проводимость), учитывающее потери активной мощности в сердечнике на вихревые токи и гистерезис (потери в стали);

- реактивное сопротивление (реактивная проводимость) учитывающее реактивную мощность, идущую на создание основного магнитного потока .

2.4. КОМПЛЕКСНЫЙ МЕТОД РАСЧЕТА МАГНИТНЫХ ЦЕПЕЙ ПРИ СИНУСОИДАЛЬНЫХ ПОТОКАХ

Магнитные цепи электрических аппаратов, работающих на синусоидальном токе, можно рассчитывать символическим методом с использованием комплексных чисел.

Пусть по катушке протекает синусоидальный ток

.

Тогда на основании закона полного тока имеем:

,

т.е.

,

где w – число витков катушки;

l – длина средней магнитной силовой линии;

δ – угол потерь (угол магнитного запаздывания).

Сравнивая начальные фазы тока и напряженности , видим, что они совпадают по фазе.

При включении катушки с активным сопротивлением r в цепь синусоидального тока, по ней протекает ток, который создает падение напряжения . Напряжение цепи, за вычетом этого падения напряжения, будет

Это напряжение есть доля напряжения сети, уравновешивающая ЭДС самоиндукции катушки .

Если сердечник работает в ненасыщенном режиме, т.е. в линейной части основной кривой намагничивания, то синусоидальному току (напряженности) соответствует синусоидальный магнитный поток

.

Основной магнитный поток является общим для всей установки и на векторных диаграммах он принимается исходным и совпадающим с вещественной осью комплексной плоскости. Поэтому для упрощения анализа электромагнитных устройств начальную фазу магнитного потока рекомендуется принимать равной нулю.

ЭДС самоиндукции, наводимая в катушке:

где - максимальное значение ЭДС.

Напряжение на обмотке уравновешивает эту ЭДС, т.е.

.

Обратим внимание, что ЭДС и напряжение сдвинуты по фазе на 180˚, т.е. находятся в противофазе.

При синусоидальном потоке магнитная индукция также изменяется по синусоидальному закону

.

Таким образом, индукция и напряженность магнитного поля изменяются по синусоидальному закону, следовательно, их можно изобразить комплексными числами

и .

Тогда и магнитную проницаемость можно представить комплексным числом

. (2.10)

Угол магнитного запаздывания α определяется шириной петли гистерезиса и указывает на то, что магнитный поток отстает от тока намагничивающей обмотки на угол α.

Если рассмотреть катушку на тороидальном сердечнике в цепи синусоидального тока, работающую на линейном участке кривой намагничивания, и не учитывать магнитный поток рассеяния, то комплексное магнитное сопротивление можно записать в виде:

, (2.11)

где l – длина средней магнитной силовой линии;

S – площадь поперечного сечения сердечника;

– комплексное удельное магнитное сопротивление.

Комплексное магнитное сопротивление (2.11) представим в алгебраической форме:

, (2.12)

где – активная составляющая комплекса магнитного сопротивления;

– реактивная составляющая комплекса магнитного сопротивления.

Здесь и – соответственно активная и реактивная составляющие комплекса удельного магнитного сопротивления.

Комплексная удельная магнитная проводимость (проницаемость) представлена выражением (2.10). Тогда удельное магнитное сопротивление можно записать в виде:

.

Таким образом, имея экспериментальные данные режима холостого хода, т.е. имея потери в стали и определив поток Ф, можно определить реактивную составляющую комплекса удельного магнитного сопротивления для каждой марки стали, работающей в соответствующем режиме кривой намагничивания .

Зная комплекс магнитного сопротивления и реактивную составляющую , можно определить активное магнитное сопротивление

.

Таким образом, из опытных данных можно определить значения удельных магнитных сопротивлений , и , связь между которыми выражается зависимостью

.

Кривые зависимости удельных магнитных сопротивлений от магнитной индукции для различных сталей сняты экспериментально и приводятся в справочной литературе.

Например, для стали Э12 такие зависимости представлены на рис.2.19.

Р и с. 2.19

Тангенс угла потерь

.

Пример 6. Рассчитать величину тока, необходимого для создания в тороидальном сердечнике индукции Вб/см². Определить потери в стали и величину угла потерь α.

Дано: внутренний диаметр тороида см, ширина пакета см, толщина - см. Марка стали – Э12, число витков катушки , частота питающей сети Гц.

Решение

Примем коэффициент заполнения пакета сталью, учитывающий лаковую изоляцию между листами железа, .

Тогда сечение железа

см².

Амплитудное значение потока

Вб.

По известной индукции по кривой рис.2.19 для данной марки стали:

см/Гн, см/Гн.

Магнитные сопротивления сердечника

Гн^-1;

Гн^-1,

здесь - длина средней магнитной силовой линии.

Комплекс магнитного сопротивления

Гн^-1.

Комплекс тока обмотки найдем с помощью закона Ома для магнитной цепи

.

Следовательно,

Модуль тока намагничивающей обмотки А. Он опережает магнитный поток на угол .

Суммарные потери в стали

Вт.

Если разделить потери в стали на потери на вихревые токи и гистерезис, то можно найти и соответствующие им удельные реактивные магнитные сопротивления

; , где .

Индексы «в» и «г» соответствуют вихревому и гистерезисному значению величин.

Удельное реактивное магнитное сопротивление при различных частотах определяется равенством

,

где - удельное реактивное магнитное сопротивление при частоте Гц.

Суммарные потери в стали на другой частоте равны:

.

Существует связь между комплексным магнитным сопротивлением сердечника и комплексным электрическим сопротивлением обмотки [1], определяемым напряжением противо-ЭДС трансформатора

.

Из режима холостого хода дросселя следует:

.

Мнимая составляющая комплексного сопротивления является результатом учета потерь в стали сердечника.

Из опыта холостого хода дросселя имеем:

или

,

откуда

,

т.е. сопротивление пропорционально потерям в стали .

Вопросы для самопроверки

1. Какие векторные величины характеризуют процессы в магнитных цепях?

2. Какие скалярные величины характеризуют процессы в магнитных цепях?

3. Как определить положительное направление МДС?

4. Как выбирают направление магнитных потоков в ветвях магнитной цепи?

5. Назовите основные законы магнитных цепей?

6. Сформулируйте закон непрерывности магнитного потока и закон полного тока.

7. Сформулируйте законы Кирхгофа и Ома для магнитных цепей.

8. Чем обуславливается нелинейность магнитной цепи?

9. Какие основные понятия связаны с петлей гистерезиса?

10. Для чего в магнитные цепи электрических машин и аппаратов вводятся ферромагнитные сердечники?

11. Что характеризует площадь гистерезисной петли ферромагнитного материала?

12. Какие ферромагнитные материалы и почему используются для изготовления сердечников для машин переменного тока?

13. Проведите аналогию между электрическими и магнитными цепями?

14. В чем заключаются основные допущения, принимаемые при расчете магнитных цепей?

15. Чем отличаются разветвленные магнитные цепи от неразветвленных?

16. Какие два типа задач встречаются при расчете магнитных цепей? Дайте им характеристику.

17. Какие существуют методы расчета магнитных цепей?

18. Какими методами решаются «прямые» задачи?

19. Какими методами решаются «обратные» задачи?

20. Как влияет воздушный зазор на индуктивность нелинейной катушки?

21. Что такое «большой зазор»?

22. Что называется основным магнитным потоком?

23. Что называется магнитным потоком рассеяния?

24. На чем основан метод эквивалентных синусоид?

25. Из каких составляющих складываются общие потери в стали сердечника?

26. Какими способами можно уменьшить потери в стали?

27. Нарисуйте последовательную и параллельную схемы замещения катушки с ферромагнитным сердечником и соответствующие им векторные диаграммы.

28. Как определяются параметры g ₀ и b ₀ сердечника?

29. Какие физические процессы отражают элементы схемы замещения катушки со стальным сердечником?

30. Как в схеме замещения нелинейной катушки учитывается воздушный зазор в сердечнике?

31. Нарисуйте схему замещения и векторную диаграмму для трансформатора с ферромагнитным сердечником.

32. Объясните понятия комплексной магнитной проницаемости и комплексного магнитного сопротивления.