Удельная энергия сечения, критическая глубина, критический уклон

Для упрощения рассмотрения неравномерного установившегося движения в русле Б. Бахметев ввел понятие удельной энергии сечения. Удельная энергия сечения в отличие от полной удельной энергии потока , которая определяется относительно выбранной произвольной плоскости сравнения, вычисляется, если плоскость сравнения проведена через самую нижнюю точку дна русла.

На рис. 8.4 показана схема продольного и поперечного сечений русла при неравномерном движении.

Рис. 8.4. К выводу удельной энергии сечения русла

Полная удельная энергия согласно уравнению Бернулли для выбранного живого сечения 1-1 относительно плоскости сравнения 0-0

, (8.15)

где - расстояние от плоскости сравнения до центра тяжести живого сечения русла; - давление в центре тяжести сечения.

При расположении центра тяжести на глубине давление

. (8.16)

Полная удельная энергия

. (8.17)

Для плоскости сравнения, проведенной через наинизшую точку дна русла , , .

.

Удельная энергия сечения русла

, (8.19)

Или, выразив скорость , получим

В выражении удельной энергии сечения (8.19):

- удельная потенциальная энергия сечения;

- удельная кинетическая энергия сечения.

Тогда

. (8.21)

Проведем простейшие исследования изменений энергии сечения в зависимости от глубины жидкости в русле. Принимаем условия: расход в русле , а форма сечения русла известна и постоянна. В зависимости от глубины потока в русле изменится площадь сечения и, соответственно, средняя скорость .

Если , , , ; если , , .

Известно, что если функция стремится к бесконечности на ее границах, то эта функция должна иметь минимум. Следовательно, функция должна иметь .

Глубина воды в русле, при которой имеет место минимум удельной энергии сечения, называется критической глубиной .

На рис. 8.5 представлен график функции удельной энергии сечения .

Рис. 8.5. График удельной энергии сечения

На рис. 8.5 прямая линия 1 - график изменения удельной потенциальной энергии, который имеет угол наклона 45° относительно горизонтальной координатной оси ; кривая 2 - график изменения удельной кинетической энергии имеет вид гиперболы; кривая 3 -график удельной энергии сечения .

График получается путем сложения значений удельных потенциальных и кинетических энергий при определенной глубине .

На кривой 3 имеется точка «к», которая соответствует случаю, когда функция имеет минимум и глубину . Точка «к» делит кривую 3 на два отрезка. Верхний отрезок этой кривой соответствует условию, что глубина потока в русле . В результате возрастания глубины кинетическая энергия уменьшается, а потенциальная - увеличивается. Потоки жидкости в руслах, в которых , получили название спокойных потоков.

Нижний отрезок кривой 3 относится к потокам с глубиной . При снижении глубины потока уменьшается площадь живого сечения, в результате этого происходит увеличение скорости и возрастание кинетической энергии, а потенциальная энергия уменьшается. Поток жидкости в русле при глубине называется бурным потоком. Если глубина в русле , поток жидкости находится в критическом состоянии.

Значение критической глубины для русла любой формы может быть определено из условия, что функция имеет минимум. Производная этой функции должна быть равна нулю, .

. (8.22)

Тогда

. (8.23)

Площадь сечения (см. рис. 8.3)

.

Отсюда уравнение (8.23) можно представить в виде

, (8.24)

где - площадь живого сечения русла при глубине ;

- ширина сечения русла по верху при критическом состоянии потока жидкости.

Значение критической глубины для любого русла может быть определено путем использования уравнения (8.24). Задаваясь рядом значений , вычисляются площадь , ширина и . При заданном расходе и определенном значении должно удовлетворяться тождество (8.24). Если построить график функции (рис. 8.6), зная значение , можно по нему определить величину .

Рассмотрим русло прямоугольной формы:

;. .

Рис. 8.6. Определение критической глубины

Выражение (8.24) для прямоугольного русла примет вид

. (8.25)

Отсюда критическая глубина в русле

, (8.26)

где - удельный расход, .

Критическая глубина зависит от формы русла и расхода жидкости. Критический уклон может иметь место, когда глубина жидкости в русле .

Таким образом, критическим уклоном в случае данного расхода при условии равномерного движения является уклон, которому соответствует критическая глубина :

; .

Рассмотрим равномерное движение жидкости в русле.

Расход при глубине и :

;

. (8.27)

Следовательно, критический уклон

. (8.28)

В зависимости от соотношения уклона дна и критического уклона будет различным состояние движения потока:

• - спокойное состояние движения потока;

• - критическое состояние движения потока;

• - бурное состояние движения потока.

Для удобства определения живых сечений и глубин в открытом русле вводится параметр :

. (8.29)

В случае критического состояния движения потока

. (8.30)

Критическая скорость - скорость, соответствующая критическому состоянию движения потока в открытом русле с уклоном дна .

Дифференциальное уравнение в этом случае будет иметь следующий вид:

. (8.31)