Установившегося медленно изменяющегося движения воды в открытом русле

Рассмотрим установившееся неравномерное движение в открытом русле призматической формы.

Для вывода уравнения неравномерного движения принимаются следующие допущения:

· движение потока считаем установившимся, если скорость медленно изменяется по его длине;

· уклон дна , распределение давления по поперечному живому сечению подчиняется гидростатическому закону;

· распределение скорости по живому сечению неизменно, поэтому величина коэффициента Кориолиса постоянная;

· коэффициент шероховатости по длине потока постоянный.

На рис. 8.3 изображена схема неравномерного движения потока воды в призматическом русле при уклоне дна .

Рассмотрим два контрольных сечения 1-1 и 2-2, находящихся на бесконечно малом расстоянии друг от друга, и наметим плоскость сравнения 0-0 (рис. 8.3).

Рис. 8.3. Схема неравномерного движения жидкости в русле

Напишем уравнение Бернулли для выбранных сечений:

, (8.1)

где и - расстояния от плоскости сравнения 0-0 до поверхности воды в сечениях 1-1 и 2-2; и - средние скорости в сечениях; - гидравлические потери на участке длиной dl;

; .

В сечении 2-2:

и .

В первом сечении средняя скорость ; во втором сечении .

После подстановок h, z и в уравнение (8.1) получим

, (8.2)

где - бесконечно малая величина второго порядка, которой можно пренебречь.

Преобразуем выражение (8.2):

, (8.3)

.

Уравнение (8.3) выразим в следующем виде:

. (8.4)

Разделим полученное выражение (8.4.) на длину dl:

, (8.5)

где - уклон дна русла; - гидравлический уклон.

Выразим скоростной напор через расход:

, (8.6)

где - площадь живого сечения русла, .

Так как , запишем

. (8.7)

Площадь элементарного сечения (см. рис. 8.3.)

, (8.8)

где - ширина сечения по верху русла; - приращение глубины потока на длине .

Подставим в (8.7):

. (8.9)

Гидравлические потери на участке при установившемся неравномерном движении с некоторыми допущениями возможно определить, как для равномерного движения.

Используем формулу Шези .

Гидравлический уклон

.

После подстановок (8.9) и в уравнение (8.5) получим

. (8.10)

Выделим из (8.10) , и окончательно уравнение будет иметь следующий вид:

. (8.11)

Полученное уравнение (8.11) называется основным дифференциальным уравнением неравномерного установившегося движения жидкости первого вида.

В уравнении (8.11) можно выразить через расходную характеристику (модуль расхода). Расходная характеристика при равномерном движении, если глубина в русле , площадь , имеет вид

, (8.12)

где , - коэффициент Шези и гидравлический радиус при равномерном движении.

Для неравномерного движения расходная характеристика имеет вид

.

Расход через расходную характеристику составит

.

Таким образом,

. (8.13)

Дифференциальное уравнение (8.11) можно представить в виде

. (8.13)