Законы распределения случайных величин

Распределения случайных величин различаются по различным законам и по параметрам этих законов.

Равномерное распределение. При равномерном распределении случайная величина может принимать значения, принадлежащие лишь отрезку , причем вероятности попадания в любые внутренние интервалы одинаковой ширины равны. Тогда плотность вероятности

Функцию распределения находят путем интегрирования:

Математическое ожидание

,

естественно, совпадает с центром отрезка .

Как легко проверить, дисперсия случайной величины, имеющей равномерное распределение вероятности,

.

Плотность вероятности и функция распределения равномерно распределенной случайной величины представлены на рис.5.2.

По равномерному закону распределена фаза случайного процесса.

Гауссово (нормальное) распределение. В теории случайных сигналов фундаментальное значение имеет гауссова плотность вероятности

,

содержащая два числовых параметра и . График данной функции представляет собой колоколообразную кривую с единственным максимумом в точке (рис. 5.3).

Непосредственным вычислением можно убедиться, что параметры гауссова распределения имеют смысл соответственно математического ожидания и дисперсии: ; .

Функция распределения гауссовой случайной величины

.

Замена переменной дает

.

где - функция, так называемый интеграл вероятностей:

.

График функции (рис. 5.4) имеет вид монотонной кривой изменяющейся от нуля до единицы.

Данный закон является широко распространенным, часто и обоснованно используется в теории связи. В соответствии с теоремой Шермана нормальный закон является наилучшей аппроксимацией неизвестного распределения. Важность закона подтверждается центральной предельной теоремой теории вероятностей, в соответствии с которой случайная величина , образованная как сумма -большого числа других случайных величин , соизмеримых друг с другом, каждая из которых имеет произвольное распределение, имеет распределение, приближающееся к нормальному закону.

В каналах связи часто возникает многолучевый характер распространения радиоволн, поэтому мгновенные значения сигнала являются случайно замирающимися и в силу выполнения условий центральной предельной теоремы подчиняется нормальному закону. Амплитуда же распределена по закону Рэлея.

Рэлеевское распределение. Плотность распределения такой случайной величины записывается выражением

,

где - параметр распределения.

Плотность распределения вероятности рэлеевской случайной величины представлена на рис.5.5.

Функция распределения рэлеевской случайной величины запишется как

.

Рэлеевский закон хорошо аппроксимирует значения амплитуды случайного замирающего сигнала в радиоканалах связи.

Райсовское распределение. В некоторых литературных источниках распределение для таких случайных величин называется обобщенным законом Рэлея, законом Рэлея-Райса, распределением Райса. Плотность распределения такой случайной величины имеет вид

,

где - параметр распределения (СКО), характеризующий разброс переменной компоненты райсовской случайной величины; - математическое ожидание; - модифицированная функция Бесселя 1-го рода нулевого порядка.

Плотность вероятности райсовской случайной величины представлена на рис.5.6.

Райсовским законом описываются огибающая смеси сигнала и помехи.