Теорема Котельникова

Любая непрерывная функция, спектр которой не содержит частот выше , полностью определяется своими отсчетами, взятыми через интервал времени .

Временные диаграммы непрерывного сигнала и дискретизированного представлены на рис. 3.2.

Важно, что не надо передавать непрерывно исходный сигнал , достаточно передавать отсчёты . Это первый шаг перехода от непрерывного сигнала к цифровому.

С точки зрения математики теорема Котельникова означает представление сигнала в виде ряда:

, (3.1)

где - отсчеты,

- функции отсчетов.

Ряд Котельникова – это разложение сигнала в ряд по ортогональным функциям .

(3.2)

Элементарная функция Котельникова имеет в t=t ₁ значение, равное значению первого отсчета (рис.3.3 б), в t=t ₂ равна значению второго отсчета (рис. 3.3 в) и так далее (рис. 3.3 г, д). В остальные отсчетные моменты времени эти функции равны нулю. Сумма элементарных функций дает исходную непрерывную функцию (рис. 3.3 е).

Теоретически дискретизация осуществляется с помощью d-импульсов. Временная диаграмма одиночного - импульса представлена на рис.3.4.

Спектр одиночного - импульса получим, используя преобразование Фурье:

.

Использовано "фильтрующее" свойство дельта-функций:

.

Спектр одиночного дельта-импульса представлен на рис. (3.5)

Чтобы получить отсчёты функции перемножим функцию на периодическую последовательность - импульсов с периодом Т =D t.

Временная диаграмма периодической последовательности дельта-импульсов представлена на рис. 3.6. Сигнал является периодическим, поэтому его можно представить в виде ряда Фурье:

(3.3)

;

,

где ; - частота дискретизации.

Так как сигнал периодический, то его спектр будет дискретным. Спектр периодической последовательности - импульсов представлен на рис. 3.7.