Изобразительные свойства ортогональных проекций эллиптического параболоида

Начинать построения следует с гори-зонтальной проекции верхней параллели поверхности в виде золотого эллипса а₁ (см. рис.12.37). Приняв фронтальную проекцию а₂ этой параллели за основание параболы очерка фронтальной проекции Ф₂, задаём высоту параболы по пропорции отношений большой и малой полуосей золотого элли-пса а, т.е., как 1,000: 0,786 =1,272.

Для построения фокуса F и директрисы d очерковой параболы b₂ необходимо провес-

ти диагональ двойного прямоугольника А₂

1₂ 2₂ D₂ до пересечения и с касательной t в точке Е₂. (рис.15.90) Перпендикуляр к диа-гонали А₂ 2₂ пересечет ось і параболы в её

фокусе F, а сторону А₂ 1₂ двойного прямо-угольника в точке L₂, через которую прохо-дит горизонтально искомая директриса d₂.

Дальнейшие построения производятся в следующем порядке:

1. По точке А, вершине О, фокусу F и директрисе d построить параболу b₂ очерка фронтальной проекции поверхности;

2. По высоте параболы от верхнего ос-

нования до вершины провести горизонталь-

но несколько фронтальных и профильных проекций эллиптических параллелей по-верхности;

3. По большой полуоси А₁ О₁ построить золотой эллипс а₁ верхнего основания по-верхности;

Рис.15.91. Построение фокуса F и директрисы d параболы по заданной точке А и вершине О

Рис.15.92. Геометрическая модель однополостного эллиптического гиперболоида

Рис.15.93. Графическая модель

эллиптического

4. По горизонтальным проекциям боль-

ших полуосей нижележащих параллелей построить их горизонтальные проекции, подобные параллели а₁;

5. Для каждого эллипса построить две его директисы, длины которых равны дли-нам их малых осей;

6. По горизонтальным проекциям дирек-трис построить их вырожденные фронталь-ные проекции, которые определили фрон-тальную проекцию S₂ фронтально-проеци-рующей директрисной поверхности парабо-лического цилиндра;

7. Фокусы эллиптических параллелей располагаются на параболе f;

8. Касательные прямые к направляю-щей параболе, идущие под углом 45°, в пе-ресечении с осью определяют основание К её директрисы d, а на уровне точки касания – её фокус F;

9. Фокусы меридиональных парабол по-верхности Ф и их образующие директрисы коноидальной директрисной поверхности d

строятся так же (см.п.7) и поэтому на рис.15.90 их построения условно не пока-заны.

Конструктивные свойства золотого однополостного эллиптического гиперболоида (рис.15.92, 15.93).

Определение 15.15. Однополостный элли-птическимий гиперболоид S, параллелями которого являются золотыми эллипсами, а главным фронтальным меридианом –

золотая гипербола, называется золотым

поверхности золотого

гиперболоида

эллиптическим гиперболоидом.

Центр О такого гиперболоида является началом трёх взаимно-перпендикулярных

осей х, у и z, которые попарно определяют соответственно горизонтальную (хОу), фро-нтальную (хОz) и профильную (уОz) плоско-сти его симметрии.

Золотое содержание элементов линей-ного каркаса поверхности определяет сле-дующие его конструктивные свойства:

1. В плоскости хОу лежит золотой эл-липс а горловины гиперболоида с отноше-нием полуосей как 1,000: 0,786;

2. В плоскости хОz лежит золотая ги-пербола b (b¹, b²), фокальные хорды кото-рой равны её фокальному расстоянию F¹ F²;

3.Основания К и L директрис гиперболы

главного меридиана b совпадает с фокуса-ми эллиптической горловины а, так как де-лят её большие полуоси в золотой пропор-ции 0,382: 0,618;

4. Фокальное расстояние эллипса а гор-ловины эллипсоида;

5.Асимптоты главного меридиана b (b¹, b²) гиперболоида S являются главным ме-ридианом поверхности асимптотического эллиптического золотого конуса W и обра-зуют два профиля пирамиды Хеопса;

6. В плоскости zOy лежит гипербола (b³, b⁴), фокальная полухорда которой относи-тся к её полуфокальному F⁶О рсстоянию как 1,618: 1,272;

7. Асимптоты профильной гиперболы (b³,b⁴) наклонены к плоскости хОу под углом 58°18¢, тангенс которого определяется от-ношением 2,058: 1,272 = 1,618;

8.Директрисы горизонтальных эллип-тических сечений а гиперболоида S обра-зуют две полости Ф¹ и Ф² гиперболического директрисного цилиндра Ф, длина фокаль-ной полухорды направляющей гиперболы которого относится к полуфокальному рас-стоянию F³О как 1,618: 2,618;

9.Асимптотические плоскости a и b ди-ректрисного гиперболического цилиндра Ф ортогонально сопряжены с главными мери-дианами асимптотического конуса W гипер-болоида S и расположены к плоскости zOy под углом в 51° 50¢. На рис.15.93 условно не показаны.

10.Фокусы F²,F³,F⁵ и F⁶ фронтальной и профильной меридиональных гипербол определяют фокальный эллипс f c отноше-нием длин полуосей как 1,272: 2,618, явля-ющийся геометрическим местом фокусов всех остальных меридианов эллиптиче-ского гиперболоида S;

11. Асимптотические плоскости a и b директрисного цилиндра Ф пересекают по-верхность гиперболоида S по двум конгру-

Рис.15.94. Образование

киноперспективных поверхностей

а) в неизменяемой системе S - П^¢;

б) в изменяемой системе S - П^¢.

энтным эллипсам, подобным фокальному эллипсу f, так как длины их полуосей отно-сятся как 0,786: 1,618:

12. Как прямолинейчатая поверхность золотой однополостный эллиптический ги-перболоид имеет два семейства прямоли-нейных образующих, углы наклона которых к плосости хОу изменяются в диапазоне от 51°50¢ до 58°18¢ и т.д.

Изобразительные свойства ортогональных проекций золотого однополостного эллиптического гиперболоида

(рис.15.93)

1.Очерк горизонтальной проекции S₁ гиперболоида S определяется проекцией а₁ золотого эллипса горловины а с отношени-ем полуосей 0,786:1,000 и проекциями а₁¹, …а₁⁴ горизонтальных сечений гиперболо-ида, а также нормального сечения поверх-ности директрисного цилиндра L;

2.Очерк b₂¹ , b₂² фронтальной проекции S₂ гиперболоида S вместе с его асимпто-тами, образующим профиль пирамиды Хе-опса, вписывается в квадрат, половины сто-рон которого равны 1,618;

3.Очерк всей фронтальной проекции S₂ гиперболоида S с проекциями поверх-ностей директрисных цилиндров Ф и их асимптотических плоскостей a и b вписы-ваются в прямоугольник с отношением его полусторон как 2,058: 2,618;

4. Очерк S₃ всей профильной проекции эллипсоида S вписывается в золотой пря-моугольник с отношением его полусторон как 1,272: 2,58;

5. Если принять длины образующих-ди-ректрис директрисного цилиндра Ф соответ-ственно равными малым осям их эллипсов, то очерком горизонтальной проекции этой поверхности будут два равнобедренных треугольника с углом при вершине О, рав-ным 51°50¢;

6. Все ортогональные проекции гипер-болоида S имеют по две оси симметрии, а две из них содержат профили пирамиды Хеопса как индикаторы их золотого содер-жания и др.

Общие выводы: 1. Среди множества закономерных алгебраических поверхнос-тей, линейный каркас которых состоит из эллипсов и гипербол с различными па-раметрами элементов их определителей, существуют единственные золотые, про-странственная структура которых съ-гармонизирована по позиционным и мет-рическим свойствам;

2. Геометрическая структуразоло-тых поверхностей может служить осно-

вой конструкторских и дизайнерских раз-работок, а композиционные свойства их ортогональных проекций, - основой гармо-ничных графических композиций.

15.2.5. Изобразительные свойства ортогональных проекций киноперспективных поверхностей.

(рис.15.94)

Общие положения

Определение 15.16. Кинопеспективны-ми называются кинематические поверхно-сти Ф, образуемые последовательными положениями деформирующейся центра-льной проекции а¢ неподвижной линии а на подвижной картине П¢ неизменяемой или изменяемой проекционной системы «цен-тр S – картина П¢» аппарата централь-ного подвижного проецирования (см. опре-деление 6.13).

В неизменяемой проекционной системе S - П ¢ главное расстояние SР = d постоян-но, в изменяемой – переменно по наперёд заданному или произвольному закону (рис. 15. 94 а, б).

Если между центром и картиной в про-цессе движения главное расстояние остаёт-ся неизменным, то подвижная картина сво-ими последовательными положениями как бы растягивается в третье измерение, об-разуя пространство-проекцию R^¢, и все пло-скостные построения приобретают прост-ранственную интерпретацию. Между эле-ментами изображаемого пространства R и пространства-проекции R^¢ центральное под-вижное проецирование устанавливает соот-ветствие типа квадратичной корреляции, при котором точке одного пространства со-ответствует линия другого, а линии одного – поверхность другого, образующими кото-рой являются центральные проекции этой

линии на соответствующие положения кар-тины.

Вполне очевидно, что это соответствие взаимно-однозначное. Если линия аппара-том центрального подвижного проецирова-ния проецируется в поверхность, то обра-тным проецированием такие поверхности, последовательные параллельные сечения которых являются перспективами какой-либо линии, проецируются в эту линию. Это значит, что, к примеру, любую поверхность вращения можно выродить в окружность, которая станет обладать собирательным свойством, что необходимо для решения позиционных задач на принадлежность и пересекаемость с участием такого рода по-верхностей.