Ортонормовані базиси. Довжина вектора

Розглядаючи базис простору , ми накладали на базисні вектори тільки умови упорядкованості та лінійної незалежності. У деяких прикладних задачах обчислення суттєво спрощуються, якщо базисні вектори одиничні та взаємно перпендикулярні.

Означення 5. Базис називають прямокутним декартовим або ортонормованим, якщо вектори базису одиничні та взаємно перпендикулярні.

Щоб відрізняти ортонормовані базиси від інших використовують спеціальні позначення базисних векторів: . Отже, згідно з означенням, базис є прямокутним декартовим, якщо та .

У просторі ортонормованим буде базис .

Нехай в ортонормованому базисі задано вектор та нехай . Відкладемо від деякої точки вектори , , (рис. 3). Очевидно, що вектор співпадає з діагоналлю прямокутного паралелепіпеда, побудованого на векторах , як на сторонах. Оскільки довжини сторін паралелепіпеда дорівнюють

,

то за відомою властивістю діагоналі прямокутного паралелепіпеда дістаємо , звідки

. (3)

Одержана формула дозволяє обчислювати довжину вектора, знаючи його координати. Відмітимо, що коли одна або дві координати вектора рівні нулю, то при обчисленні його довжини замість довжини діагоналі прямокутного паралелепіпеда доводиться шукати довжину діагоналі прямокутника або довжину вектора, який колінеарний до одного із базисних векторів. В обох випадках дістаємо співвідношення, які є частинним випадком формули (3).

У просторі з вибраним у ньому ортонормованим базисом довжину вектора обчислюють за формулою .