Решение дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами

С помощью преобразования Лапласа можно выполнить интегрирование некоторых видов линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами.

Пусть задано дифференциальное уравнение:

Рассмотрим случай, когда коэффициенты этого уравнения являются полиномами от t, тогда это уравнение может быть преобразовано по Лапласу, если воспользоваться теоремой дифференцирования изображения.

……………………………………………………….

Подставляя в уравнение полученные результаты, можно убедиться, что исходное дифференциальное уравнение преобразуется в дифференциальное уравнение относительно , но это уже будет обыкновенное линейное дифференциальное уравнение. Порядок этого уравнения будет такой, какова наивысшая степень t имеющаяся в исходном уравнении.

Целесообразность преобразования по Лапласу в том, что преобразованное дифференциальное уравнение оказывается более простым, чем исходное.

Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения

или

.

Получим линейное дифференциальное уравнение 1 порядка. Решим его методом Бернулли с помощью подстановки X=UV. При этом уравнение примет вид:

Согласно методу Бернулли будем иметь:

Тогда изображения искомого решения примет вид:

Возвращаясь к оригиналу, получим

8.4 Решение систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

Пусть дана система n дифференциальных уравнений 2^го порядка.

, (8.9)

где – к -тая функция, которую необходимо найти,

- коэффициенты системы,

- правые части.

Пусть заданы начальные условия

Пусть

Применяя к обеим частям каждого уравнения преобразование Лапласа, получим систему:

,

Эта алгебраическая система относительно неизвестных . Решим её и затем переходим к оригиналам.

Пример. Решить систему

При начальных условиях x(0)=1, y(0)=0, z(0)=-1.

Решение: Пусть , ,

В области изображений система примет вид:

или

Решим систему:

.

Аналогично найдутся и другие функции y (t) и z (t). Для решения системы дифференциальных уравнений операторным методом требуется решить только одну систему линейных алгебраических уравнений. При этом учитываются и начальные условия. Следует отметить возможность нахождения каждой неизвестной функции независимо от других. Проделать тоже самое классическим методом весьма затруднительно.

8.5 Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом.

В ряде технических задач приходится иметь дело с дифференциальными уравнениями, в которых неизвестная функция входит при различных значениях аргумента, например:

и т.п.

Такие уравнения называются дифференциальными уравнениями с отклоняющимися аргументами.

Если постоянные, то мы имеем так называемое дифференциально – разностное уравнение.

Если и старшая производная входит в дифференциально-разностноеуравнение только при одном значении аргумента, не меньшем всех других аргументов функций и производных, входящих в уравнение, то уравнение называют дифференциальным уравнением с запаздывающим аргументом.

Пусть дано дифференциальное уравнение с запаздывающим аргументом с постоянными коэффициентами

,

где = const, .

Возьмем для простоты нулевые начальные условия

.

Применяя преобразования Лапласа, получим

.

Откуда найдем

от изображения переходим к оригиналу x(t).

Пример: Решить уравнение.

.

Решение:

В области изображений откуда

Переходим к оригиналу

.

8.6 Интегральные уравнения типа «свертки».

Интегральным уравнением называется уравнение, содержащее искомую функцию под знаком интеграла.

Например, (8.10)

-это линейное интегральное уравнение Фредгольма второго рода.

Здесь y(x) – неизвестная функция,

f(x) и r(x,t) – заданные функции.

Функцию r(x,t) называют ядром уравнения (8.10),

a и b=const.

Изменим (8.10) следующим образом.

(8.11)

Получим линейное интегральное уравнение Вольтерра 2^го рода.

Если в (8.10) и (8.11) , то уравнения будут называться однородными.

Если искомая функция y(x) входит только под знак интеграла, то (8.10) и (8.11) преобразуются в уравнения Фредгольма и Вольтерра 1^го рода.

или .

Совершенно очевидно, что большую роль в решении будет играть ядро уравнения, т.е. функция r(x,t). Важный класс уравнений Вольтерра получается, если ядро r(x,t) зависит только от разности

r(x,t)=r(x-t).

Уравнение в этом случае имеет вид.

(8.12)

Его еще называют уравнением типа свертки.

Пусть входящие в уравнение (8.12) функции удовлетворяют условиям оригинала, тогда может быть найдено изображение функций по Лапласу

Пользуясь формулой свертки, получим операторное уравнение

.

Откуда

.

Для Ф(р) находим - решение интегрального уравнения (8.12).

Пример. Решить интегральное уравнение

.

Решение:

Так же решаются и системы интегральных уравнений.

Пример. Решить систему интегральных уравнений

в области изображений получим:

преобразовав, будем иметь:

или,

решим методом Крамера: