Понятие точечной оценки и основные требования, к ней предъявляемые

Лекция12

Рассматриваемые вопросы:

1) Понятие точечной оценки и основные требования, к ней предъявляемые.

2) Оценка математического ожидания случайной величины.

3) Оценка дисперсии случайной величины.

4) Стандартные методы получения точечных оценок.

Понятие точечной оценки и основные требования, к ней предъявляемые.

Пусть изучаемая случайная величина имеет распределение, зависящее от одного или нескольких параметров. Истинное значение того или иного параметра распределения случайной величины называют теоретическим или генеральным значением. Статистической оценкой некоторого параметра распределения случайной величины называется функция, определенная на множестве выборок значений этой случайной величины . Конкретное значение статистической оценки на данной конкретной выборке называют выборочным значением этой оценки, или точечным значением, или выборочной оценкой. Выборочное значение параметра само является случайной величиной, поскольку само рассчитывается по данным случайной выборки. Для оценок, которые предполагается использовать на практике, желательны некоторые требования.

Определение 1. Оценка некоторого параметра называется несмещенной, если .

Несмещенность оценки означает, что она не дает какой-либо регулярной Определение 2. Оценка некоторого параметра называется состоятельной, если для любого .

Состоятельность оценки означает, что чем больше объем выборки, тем точнее выборочная оценка.

Теорема 1. Если несмещенная оценка и , то оценка состоятельна.

Определение 3. Оценка некоторого параметра называется эффективной, если она имеет минимальную дисперсию среди всех других оценок данного пареметра.

Из теории вероятностей известно, что среди всех параметров распределения случайной величины важнейшую роль играют математическое ожидание и дисперсия. Напомним, что нормальное распределение полностью определяется этими двумя параметрами. Поэтому и в математической статистике их оценки занимают центральное место.