Определение тройного интеграла

Пусть в кубируемой области задана функция . Разобьем область произвольной сеткой поверхностей нулевого объема на частей , не имеющих общих внутренних точек. Частичная область ограничена поверхностями нулевого объема и поэтому кубируема (пусть ее объем ). Выберем в каждой области по одной произвольной точке и совокупность всех частичных областей с выбранными в них точками назовем разбиением Т области . Величину назовем диаметром разбиения. Составим сумму

,

которую назовем интегральной суммой функции ,

соответствующей данному разбиению области .

Определение. Число называется пределом интегральных сумм при , если для любого найдется такое , что при любом разбиении области , у которого , и при любом выборе точек выполняется неравенство

.

Предел интегральных сумм называется тройным интегралом от функции по области и обозначается . Итак,

. (1)