Замена переменных в двойном интеграле

Замена переменных в двойном интеграле состоит в переходе от переменных и к новым переменным и по формулам

, (5)

причем отображение (5) обладает свойствами:

I. Отображение (5) взаимно однозначно, т.е. различным точкам соответствуют различные точки .

II. Функции и имеют в области непрерывные частные производные первого порядка.

III. Якобиан отображения отличен от нуля во всех точках области .

Теорема. Пусть и - замкнутые квадрируемые области, функция ограничена в области и непрерывна всюду, кроме, быть может, некоторого множества точек площади нуль, а отображение (5) удовлетворяет условиям I¾III. Тогда справедливо равенство

. (6)

Формула (6) называется формулой замены переменных в двойном интеграле. Таким образом, для замены переменных в двойном интеграле (1) необходимо в подынтегральную функцию вместо и подставить соответственно и , а элемент площади заменить на элемент площади в криволинейных координатах .

Замену переменных используют как для упрощения подынтегральной функции, так и для упрощения области интегрирования.

Замечание 4. Якобиан перехода к полярным координатам имеет вид

.