Статистический анализ случайных ошибок

При проведении серии измерений некоторой физической величины (например, длины, с помощью линейки или силы тока с помощью амперметра) из-за случайных ошибок отдельные значения x ₁, x ₂ и т. д. неодинаковы и в качестве наилучшего значения искомой величины принимают среднее арифметическое:

(1)

где x _i – i -е измеренное значение, a n - общее число измерений. Тогда n измеренных значений будут распределены около среднего значения, (рис. 2). Во многих случаях приближается к «истинному значению» x очень близко, если n достаточно велико и отсутствуют систематические ошибки.

Рис. 2.

Малый разброс измеренных значений относительно среднего значения означает высокую точность.

Найденное таким образом «наилучшее значение» результата измерения нуждается в оценке его неопределенности (ошибки или погрешности). Сформулируем способ, с помощью которого можно охарактеризовать разброс данных относительно среднего значения.

Ожидаемая ошибка каждого отдельного измерения x_i характеризуется стандартным отклонением S, которое определяется как

, (2)

где n – общее число измерений. Смысл выражения (2) заключается в том, что квадрат стандартного отклонения S ² равен среднему арифметическому значению квадратов отклонений отдельных измерений от среднего значения измеряемой величины.

Если стандартное отклонение мало, то разброс измеренных значений относительно среднего значения является малым, следовательно, точность измерения высокая. Заметим, что стандартное отклонение является всегда положительным и имеет ту же размерность, что и измеренные значения.

Используя всю совокупность измерений, мы, естественно, находим искомое значение измеряемой величины с лучшей точностью, чем это можно сделать с помощью одного измерения. Причина улучшения заключается в том, что положительные и отрицательные ошибки частично компенсируются при усреднении результатов нескольких измерений.

Поэтому в качестве меры погрешности результатов измерений величины x (или неопределенности среднего значения ) принимают стандартное отклонение от среднего S_m, которое часто называют стандартной погрешностью и определяют как

, (3)

где S – стандартное отклонение (2), а индекс m означает mean – среднее.

Для более полного обсуждения разброса или распределения измеренных значений полезно рассмотреть нормальное или Гауссово распределение.