Аналитическая геометрия Рене Декарта

«Введение» Ферма, долгое время остававшееся в рукописи, не нашло того широкого распространения, какое получила «Геометрия» Декарта, изданная в 1637 г. О влиянии «Введения» на Декарта не может быть речи. Мы говорили уже, что все основные идеи «всеобщей математики», как в алгебраической, так и в геометрической части, имелись у ее творца не позднее 1632 г.

Изложение аналитической геометрии у Декарта во многом отличается от данного Ферма. В одном оно уступает, ибо разбросано по всем трем книгам «Геометрии» и даже во второй из них, содержащей наиболее важные элементы новой дисциплины, не имеет систематического характера, как во «Введении». Но в других отношениях геометрия Декарта имела решительные преимущества. Не говоря уже о том, что Декарт применял более развитую символику, что его изложение было доступнее и богаче примерами, он выдвинул несколько общих идей и предложений, весьма существенных для последующего.

Один из основных вопросов для Декарта заключался в следующем: какие линии служат предметом геометрии? Ответ определялся верой Декарта в то, что единственным общим методом математики является алгебраический. Сначала этот ответ формулируется в кинематических выражениях: геометрические линии — это те, которые «описаны непрерывным движением или же несколькими такими последовательными движениями из которых последующие вполне определяются им предшествующими — ибо этим путем всегда можно точно узнать их меру». Напротив, из геометрии, т. е. собственно всеобщей математики, исключаются механические линии, описываемые «двумя отдельными движениями, между которыми и существует никакого отношения, которое можно было бы точно измерить». Примеры механических линий — спираль и квадратриса: в качестве примера геометрических приводятся кривые, описываемые некоторым шарнирным механизмом, число звеньев которого можно неопределенно увеличивать. Этот механизм, по идее сходный с мезолабием, предложенным Эратосфеном в III в. до н. э. для построения двух средних пропорциональных, Декарт изобрел между 1619 и 1621 гг.: в третьей части «Геометрии» показано, как можно с его помощью строить любое число средних пропорциональных между двумя данными отрезками а: x1 = x1: x2 = x2: х3 =... = xn: b.

Кинематическое образование линий являлось отправным пунктом геометрии Декарта и применяется в ней неоднократно. Конечно, данная им при этом кинематическая характеристика геометрических линий как кривых, описываемых одним или несколькими непрерывными движениями, последовательно определяющими друг друга, не вполне отчетлива, так же как и заявление, что для проведения всех таких линий «нужно только то предположение, что две или несколько линий можно перемещать вдоль друг друга и что их пересечения образуют другие линии». Но в этих утверждениях, по сути дела, Декарт предвосхитил важную теорему английского ученого А. Кемпе (1876), согласно которой посредством плоских шарнирных механизмов можно описать дуги любых алгебраических кривых и нельзя описать ни одной трансцендентной. Свой кинематический способ деления линий на геометрические и механические Декарт тотчас облекает в более ясную аналитическую форму и здесь же предлагает классификацию первых. «Все точки линий,— пишет он,— которые можно назвать геометрическими, т. е. которые подходят под какую- либо точную и определенную меру, обязательно находятся в некотором отношении ко всем точкам прямой линии, которое может быть выражено некоторым уравнением, одним и тем же для всех точек данной линии». В этом поистине замечательном по глубине месте своего сочинения Декарт вводит и метод прямолинейных координат и понятие об уравнении кривой, а вместе с тем понятие о функции как аналитическом выражении, составленном из «неопределенных» отрезков x и у. Несколько перед тем Декарт объяснил, как описывать кривую или, вернее, строить любое число ее точек, вычисляя значения х по данным значениям у,— первой координатой у него служила у.

В 1684 г. Лейбниц назвал геометрические кривые Декарта алгебраическими, а механические — трансцендентными, мотивируя отказ от терминологии Декарта тем, что и механические линии не подлежат исключению из геометрии.

Непосредственно за изложенными общими соображениями Декарт приводит первую общую классификацию алгебраических кривых в зависимости от степени их уравнений, отнеся к роду кривые с уравнениями степени 2 — 1 и 2 . Классификация требовалась, прежде всего, для всеобщей математики Декарта, а также была нужна в аналитической геометрии. Предложенное Декартом разделение кривых по родам, себя не оправдавшее, мотивировалось тем, что, по его мнению, кривые с уравнением степени 2 вообще не сложнее, чем с уравнением степени 2 — 1. Все трудности, связанные с четвертой степенью, писал он, приводятся к третьей, а трудности, связанные с шестой степенью,— к пятой и т. д. Общепринятой классификацией плоских кривых по порядкам мы обязаны Ньютону.

Но классификация кривых в прямолинейных координатах по родам или порядкам имеет смысл, если род или порядок кривой не зависит от выбора координатной системы. Это было Декарту ясно, и он, правда, мимоходом, но вполне отчетливо, сформулировал фундаментальное предложение об инвариантности рода кривой при замене одной системы прямолинейных координат другой: «Действительно, хотя для получения более короткого и удобного уравнения и нужен весьма тщательный выбор, но все же, какими бы прямую и точку ни взяли, всегда можно сделать так, чтобы линия оказалась того же самого рода: это легко доказать». Впрочем, доказательство не приводится, да и формулы линейного преобразования координат у Декарта еще отсутствовали.

Большое место занимают в «Геометрии» исследование оптических овалов, рассматриваемых в биполярных координатах, и проведение нормалей. Вторая книга сочинения завершается краткими замечаниями о возможности распространения метода на пространственные кривые посредством проектирования их точек на две взаимно перпендикулярные плоскости и заявлением: «Я полагаю теперь, что ничего не пропустил из начал, необходимых для познания кривых линий».

Конечно, в этих словах Декарта, как и в авторской оценке «Введения» Ферма, было несомненное преувеличение. Но действительно, перед геометрией раскрывались невиданно широкие перспективы. Историки науки немало спорили о том, имелась ли у Аполлония аналитическая геометрия и было ли творчество Ферма и Декарта в этой области новаторским. Ответ зависит от определения термина «аналитическая геометрия», который, как отмечалось в другой связи, понимается по-разному. Несомненно, что оба ученых чрезвычайно многим обязаны были древним и что в саму теорию конических сечений они не внесли каких-либо новых теорем, а также не построили ее в чисто аналитическом плане. И вместе с тем Декарт и Ферма закладывали фундамент поистине новой геометрии, хотя «симптомы» Аполлония и соответствовали буквенным уравнениям кривых второго порядка.

Дело в том, что, как правильно писал Г. Цейтен, «геометрическая форма, приданная методом древних самой алгебре, была причиной многочисленных комбинаций между средствами и объектом геометрического исследования — комбинаций, которые должны были оставаться довольно чуждыми аналитической геометрии, в особенности поскольку последняя стремилась превратить геометрические проблемы целиком в задачи исчисления». И до тех пор, пока средством исследования оставалась геометрическая алгебра, синтетическое рассмотрение неизбежно переплеталось с аналитическим, а в глазах некоторых ученых являлось принципиально господствующим. Ньютон, завершая свой вывод теоремы о том, что место к четырем прямым есть коническое сечение, писал: «Такое решение, как приведенное выше, т. е. исполняемое не с помощью исчисления, но геометрическим построением, и изыскивалось древними». Между тем после Ферма и Декарта и благодаря им начинает развиваться чисто аналитический метод исследования геометрических образов, в принципе не нуждающийся в обращении к геометрическим построениям и опирающийся лишь на алгебраическое исчисление. Такова общая, идейная сторона дела. К этому следует добавить, что новая алгебра давала средства изучения кривых любого порядка, первые примеры чего имеются уже у Декарта (такое применение геометрической алгебры было невозможно), что система координат становилась свободной от связи с теми или иными исключительными точками и направлениями (например, диаметром и вершиной конического сечения), что приобретали право на существование отрицательные координаты и т. д. Мы не говорим уже о том, что в новой геометрии впервые нашло явное выражение понятие о функции, заданной формулой.

В свете сказанного второстепенное значение имеют недостатки, присущие аналитической геометрии Декарта и Ферма, пользовавшегося к тому же менее совершенной алгеброй Виета, например не разработанность вопроса об отрицательных координатах или отсутствие на большинстве чертежей второй оси, а также то обстоятельство, что оба они ограничились немногими примерами приложения нового метода.

Современники восприняли новую геометрию с энтузиазмом. Уже в латинских изданиях «Геометрии» Декарта мы находим отдельные, заслуживающие упоминания вещи

Ньютон. Общие положения теории флюксий

Ньютон родился в год начала великой гражданской войны в Англии и пережил за свою долгую, восьмидесятипятилетнюю жизнь казнь Карла I, правление Кромвеля, реставрацию Стюартов, вторую, так называемую “бескровную, славную революцию” 1688 г. и умер при упрочившемся конституционном режиме; он был современником Петра I и Людовика XIV. Но политические бури, по-видимому, не глубоко отражались на жизни Ньютона. Он оставался, по крайней мере внешне, аполитичным “философом” в том широком смысле, в котором это слово применялось в старину.

Жизнь Ньютона протекала спокойно, мирно и однообразно, умер он неженатым, никуда не выезжал за пределы Англии, путешествия его ограничивались небольшими расстояниями от Грэнтэма до Кэмбриджа и Лондона (около 200 км). Ньютон отличался редким здоровьем, никогда не имел особенно близких друзей-ровесников. Все это только неизбежная оболочка настоящей деятельности Ньютона, поглощавшей его целиком, по крайней мере, в первой половине жизни; плодами ее явились. “Оптика”, “Математические начала натуральной философии” и метод флюксий.

Ньютон сосредоточил работу на “натуральной философии” или физике, а математика в его руках была методом и материалом для решения основных физических задач. К последней трети 17 века относится открытие дифференциального и интегрального исчисления в собственном смысле слова. В отношении публикации приоритет этого открытия принадлежит Г. Лейбницу, давшему развёрнутое изложение основных идей нового исчисления в статьях, опубликованных в 1682-86. В отношении же времени фактического получения основных результатов имеются все основания считать приоритет принадлежащим И. Ньютону, который к основным идеям дифференциального и интегрального исчисления пришёл в течение 1665-66.

"Анализ с помощью уравнений" И. Ньютона в 1669 был передан им в рукописи английским математикам И. Барроу и Дж. Коллинзу и получил широкую известность. "Метод флюксий" - сочинение, в котором И. Ньютон дал вполне законченное систематическое изложение своей теории, - был написан в 1670-71 (издан в 1736). Г. Лейбниц же начал свои исследования по анализу бесконечно малых лишь в 1673. И. Ньютон и Г. Лейбниц впервые в общем виде рассмотрели основные для нового исчисления операции дифференцирования и интегрирования функций, установили связь между этими операциями (так называемая формула Ньютона - Лейбница) и разработали для них общий единообразный алгоритм. Подход к делу у И. Ньютона и Г. Лейбница, однако, различен. Для И. Ньютона исходными понятиями являются понятия "флюенты" (переменной величины) и её "флюксий" (скорости её изменения).

Основные задачи теории Ньютон формулировал в терминах механики:

определение скорости движения по известной зависимости пути от времени; «Длина проходимого пути постоянно (т. е. в каждый момент времени) дана; требуется найти скорость движения в предложенное время»

определение пройденного за данное время пути по известной скорости. «Скорость движения постоянно дана; требуется найти длину пройденного в предложенное время пути»

Прямой задаче нахождения флюксий и соотношений между флюксиями по заданным флюентам (дифференцирование и составление дифференциальных уравнений) противостоит обратная задача нахождения флюент по заданным соотношениям между флюксиями. Задача нахождения первообразной появляется здесь как частный случай интегрирования дифференциального уравнения dy/dx = f(x). Создание математического естествознания и исчисление флюксий явилось выражением элементарных законов природы дифференциальными уравнениями, а предсказание хода описываемых этими уравнениями процессов требует их интегрирования.

Для Лейбница в центре внимания находился вопрос о переходе от алгебры конечного к алгебре бесконечно малых; интеграл воспринимался прежде всего как сумма бесконечно большого числа бесконечно малых, а основным понятием дифференциального исчисления являлись дифференциалы - бесконечно малые приращения переменных величин (наоборот, И. Ньютон, вводя соответствующее понятие "момента", стремился в более поздних работах от него освободиться).

С публикации работ Г. Лейбница начался период интенсивной коллективной работы над дифференциальным и интегральным исчислением, интегрированием дифференциальных уравнений и геометрическими приложениями анализа. В ней принимали участие Я. и И.Бернулли, Г. Лопиталь. Создаётся современный стиль математической работы, при котором полученные результаты немедленно публикуются в журнальных статьях и уже очень скоро после опубликования используются в исследованиях других учёных.

В понятиях и терминологии метода флюксий с полной отчётливостью отразилась глубокая связь математических и механических исследований Ньютона. Понятие непрерывной математической величины Ньютон вводит как абстракцию от различных видов непрерывного механического движения. Линии производятся движением точек, поверхности - движением линий, тела - поверхностей, углы - вращением сторон и т.д. Переменные величины Ньютон назвал флюентами (текущими величинами, от лат. fluo - теку). Общим аргументом текущих величин - флюент - является у Ньютона "абсолютное время", к которому отнесены прочие, зависимые переменные. Скорости изменения флюент Ньютон назвал флюксиями, а необходимые для вычисления флюксий бесконечно малые изменения флюент - "моментами" (у Лейбница они назывались дифференциалами). Таким образом, Ньютон положил в основу понятия флюксий (производной) и флюенты (первообразной, или неопределённого интеграла). И. Ньютон в методе флюксий и флюент (1666 и следующие гг.) ввёл знаки для последовательных флюксий (производных) в виде и для бесконечно малого приращения o.

Время Ньютон понимал как общий аргумент, к которому отнесены все переменные величины. Систему величин х, у, z,..., одновременно изменяющихся непрерывно в зависимости от времени, он называл флюентами (лат. fluens – текущий, от fluo – теку), скорости, с которыми изменяются флюенты, – флюксиями (лат. fluxio – истечение). Флюксии являются производными флюент по времени. Бесконечно малые изменения флюент Ньютон назвал моментами (понятие момента соответствует дифференциалу), момент независимого переменного он обозначил знаком о, момент флюенты х – знаком xo.

Представление о существе операции отыскания флюксий, особенностях символики и о ходе рассуждений Ньютона можно получить из следующих примеров:

Пример 1.

«Если соотношение между текущими величинами x и y выражается уравнением f(x,y) = x3 + ax2 + axy  y3 = 0, то сперва расположи члены по x, а затем по y и помножь их, как указано ниже (Звездочкой Ньютон обозначает члены, которые можно отбросить, но которые потребуются в дальнейшем).

Сумма произведений есть

и это уравнение показывает, какое соотношение существует между флюксиями и . (У Ньютона нет других формул, кроме (xn)’= nxn-1.

Нет у него формул производной произведения, дроби и сложной функции. Что производная суммы равняется сумме производных слагаемых, представляется ему совершенно очевидным. Основное правило Ньютона это не что иное, как правило определения производной полинома f(x, y) по t, когда x, y суть функции от t (t у него время). Мы будем писать, если

f(x,y) = x3 + ax2 + axy  y3 = 0что ,

где

Ньютон предлагают находить эти , следующим образом: члены с x3, x2, x, x0 умножаются на 3xx’/x, 2xx’/x, xx’/x, 0/x, а члены с y2, y, y0 на 2yy’/y, yy’/y, 0/y)»