Идея соответствия (19 век)

В 1834 году в работе “Об исчезании тригонометрических строк” Н.И.Лобачевский, развивая вышеупомянутое эйлеровское определение функции в 1755г., писал: “Общее понятие требует, чтобы функцией от х называть число, которое дается для каждого х и вместе с х постепенно изменяется. Значение функции может быть дано и аналитическим выражением, или условием, которое подает средство испытывать все числа и выбирать одно из них; или, наконец, зависимость может существовать, или оставаться неизвестной... Обширный взгляд теории допускает существование зависимости только в том смысле, чтобы числа, одни с другими в связи, принимать как бы данными вместе”.

Еще до Лобачевского аналогичная точка зрения на понятие функции была высказана чешским математиком Б. Больцано. Таким образом, современное определение функции, свободное от упоминании об аналитическом задании, обычно приписываемое Дирихле, неоднократно предлагалось и до него. В 1837 году немецкий математик ПЛ. Дирихле так сформулировал общее определение понятия функции: есть функция переменной х (на отрезке х от а до b), если каждому значению х на этом отрезке соответствует совершенно определенное значение у, причем безразлично каким образом установлено это соответствие - аналитической формулой, графиком, таблицей либо даже просто словами”.

Примером, соответствующим этому общему определению, может служить так называемая “функция Дирихле” φ(х).

Эта функция задана двумя формулами и словесно. Она играет известную роль в анализе. Аналитически ее можно определить лишь с помощью довольно сложной формулы, не способствующей успешному изучению ее свойств. Таким образом, примерно в середине 19 века после длительной борьбы мнений понятие функции освободилось от рамок аналитического выражения, от единовластия аналитической формулы. Главный упор в основном общем определении понятия функции делается на идею соответствия.

Во второй половине 19 века после создания теории множеств в понятие функции, помимо идеи соответствия была включена и идея множества. Таким образом, в полном своем объеме общее определение понятия функции формулируется следующим образом: если каждому элементу х множества А поставлен в соответствие некоторый определенный элемент у из множества В, то говорят, что на множестве А задана функция у = f(х), или что множество А отображено на множество В. В первом случае элементы х множества А называют значениями аргумента, а элементы их множества В - значениями функции; во втором случае х - прообразы, у - образы. В современном смысле рассматривают функции, определенные для множества значений х, которые возможно, и не заполняют отрезка х от а до b, о котором говорится в определении Дирихле. достаточно указать, например, на функцию-факториал у = n!, заданную на множестве натуральных чисел. Общее понятие функции применимо, конечно, не только к величинам и числам, но и к другим математическим объектам. Например, к геометрическим фигурам. При любом геометрическом преобразовании мы имеем дело с функцией. Другими синонимами термина “функция” в различных отделах математики являются: соответствие, отображение, оператор, функционал и др.

Дальнейшее развитие математической науки в 19 веке основывалось на общем определении функции Дирихле, ставшим классическим.

Дальнейшее развитие понятия функции (20 век - …)

Уже с самого начала 20 века определение Дирихле стало вызывать некоторые сомнения среди части математиков. Еще важнее была критика физиков, натолкнувшихся на явления, которые потребовали более широкого взгляда на физику. Необходимость дальнейшего расширения понятия функции стала особенно острой после выхода в свет в 1930 году книги “Основы квантовой механики” Поля Дирака, крупнейшего английского физика, одного из основателей квантовой механики. Дирак ввел так называемую дельта-функцию, которая выходила далеко за рамки классического определения функции. В связи с этим советский математик И.М. Гюнтер и другие ученые опубликовали в 30-40 годах нашего столетия работы, в которых неизвестными являются не функции точки, а «функции области», что лучше соответствует физической сущности явлений. Так, например, температуру тела в точке практически определить нельзя, в то время как температура в некоторой области тела имеет конкретный физический смысл.

В общем виде понятие обобщенной функции было введено французом Лораном Шварцем. В 1936 году, 28-летний советский математик и механик С.Л. Соболев первым рассмотрел частный случай обобщенной функции, включающей и дельта-функцию, и применил созданную теорию к решению ряда задач математической физики. Важный вклад в развитие теории обобщенной функции внести ученики и последователи Шварца – И.М. Гельфант, Г.Е. Шилов и др. Явное и вполне сознательное применение понятия функ­ции и систематическое изучение функциональной зависимости берут свое начало в XVII в. в связи с проникновением идеи переменных величин в математику. В «Геометрии» Декарта и в работах Ферма, Ньютона и Лейбница понятие функции носило по существу интуитивный характер и было связано либо с геометрическими, либо с механическими представлениями: ординаты точек кривых - функции от абсцисс путь и скорость -функции от времени .

Четкого определения понятия функции в XVII в. еще не было, однако путь к первому такому определению проложил Декарт, ко­торый систематически рассматривал в своей «Геометрии» лишь те кривые, которые можно точно представить с помощью уравнений, притом преимущественно, алгебраических. Постепенно понятие функции стало отождествляться, таким образом с понятием аналитического выражения — формулы.

Слово «функция» (от латинского — совершение, выполнение) Лейбниц употреблял с 1673 г. в смысле роли (величина, выполняющая ту или иную функцию). Как термин в нашем смысле выражение «функция от » стало употребляться Лейбницем и И. Бернулли; начиная с 1698 г. Лейбниц ввел также термины «пере­менная» и «константа» (постоянная). Для обозначения произвольной функции от х Иоганн Бернулли применял знак , называя характеристикой функции, а также буквы или ξ; Лейбниц употреблял также вместо современных . Эйлер обозначал через , то, что мы ныне обозначаем через . Наряду с Эйлер предлагает пользоваться и буквами , и др. Даламбер сделал шаг вперед на пути к современным обозна­чениям, отбрасывая эйлерово двоеточие; он пишет, например, .

Явное определение функции было впервые дано в 1718 г. одним из учеников и сотрудников Лейбница, выдающимся швейцарским математиком Иоганном Бернулли: «Функцией переменной величины называют количество, образованное каким угодно способом из этой переменной величины и постоянных».

Леонард Эйлер во «Введении в анализ» (1748) примыкает к определению своего учителя И. Бернулли, несколько уточняя его. Определение Л. Эйлера гласит: «Функция переменного количества есть аналитическое выражение, составленное каким-либо образом из этого количества и чисел или постоянных количеств». Так понимали функцию на протяжении почти всего XVIII в. Даламбер, Лагранж и другие видные математики. Что касается Л. Эйлера, то он не всегда придерживался вышеуказанного определения; в его работах понятие функции подвергалось дальнейшему развитию в соответствии с запросами математического анализа. В некоторых своих произведениях 2 Л. Эйлер придает более широкий смысл функции, понимая ее как кривую, начертанную «свободным влечением руки». В связи с таким взглядом Л. Эйлера на функцию между ним и его современниками, в первую очередь его постоянным соперником, крупным французским математиком Даламбером, возникла большая полемика вокруг вопроса о возможности аналитического выражения произвольной кривой и о том, какое из двух понятий (кривая или формула) следует считать более широким. Так возник знаме­нитый опор, связанный с исследованием колебаний струны.

В своем «Дифференциальном исчислении», вышедшем в свет в 1755 г., Л. Эйлер дает общее определение функции: «Когда некоторые количества зависят от других таким образом, что при изменении последних и сами они подвергаются изменению, то первые называ­ются функциями вторых». «Это наименование, — продолжает далее Эйлер, — имеет чрезвычайно широкий характер; оно охватывает все способы, какими одно количество определяется с помощью других». На основе этого определения Эйлера французский математик С. Ф. Лакруа в своем «Трактате по дифференциальному и интегральному исчислению», опубликованном в 1797 г., смог записать следующее: «Всякое количество, значение которого зависит от одного или многих других количеств, называется функцией этих последних независимо от того, известно или нет, какие операции нужно применить, чтобы перейти от них к первому».

Как видно из приведенных определений, само понятие функции фактически отождествилось с аналогическим выражением. Новые шаги в развитии естествознания и математики в 19в. Вызвали и дальнейшее обобщение понятия функции.