Решение. Составим план производства, обеспечивающий наибольшую прибыль

Составим план производства, обеспечивающий наибольшую прибыль. Для этого найдем максимум функции

,

Где х₁ – количество единиц продукции А

х₂ – количество единиц продукции Б.

При ограничениях:

Найдем решение графическим методом. Определим множество решений 1-го неравенства. Оно состоит из решения уравнения и строго неравенства. Решением уравнения служат точки прямой 0,2х₁+0,1х₂=100. Построим прямую по двум точкам (0,1000) и (500;0)

Множество решений строгого неравенства – одна из полуплоскостей, на которую делит плоскость построенная прямая. Какая из них является искомой, можно выяснить при помощи контрольной точки. В качестве такой точки возьмем начало координат. Подставим координаты (0,0) в неравенстве, получим - 100<0, т.е. оно выполняется. Следовательно, область решения неравенства служит данная полуплоскость.

Аналогичным образом построим область решения другого неравенства

;

; при выполняется, берется нижняя полуплоскость.

Заштрихуем общую область для всех неравенств, обозначим вершины многоугольника латинскими буквами и определим их координаты.(рис.3.1.6)

Например координаты точки В, являющейся точкой пересечения прямых.

х₁ =400 х₂=200

Аналогично поступим для других точек. Их координаты таковы: точка 0 (0,0); А (0,400), В (400,200); С (500,0)

х₂

1100

700

500 А

300 В

100

С

0 х₁

100 300 500 700 900 1100

Рис. 1. Линейное программирование задачи

Приравняем целевую функцию постоянной величине а. Это уравнение является множеством точек, в котором целевая функция принимает значение равное а. Пусть а =0, вычислим координаты двух точек, удовлетворяющих соответствующему уравнению ; возьмем точки (0,0) и (-2,5). Через эти две точки проведем линию.

Для определения направления движения к оптимуму построим вектор градиент , координаты которого являются частными производными функции f , т.е. = (с₁,с₂) = (500,200). Чтобы построить этот вектор, нужно соединить точку (500,200) с началом координат.

Т. к. необходимо максимизировать целевую функцию, то будем двигаться в направлении вектора – градиента. В нашем случае движение линии уровня будем осуществлять до её пресечения с точкой С; далее она выходит из области допустимых значений. Следовательно, в этой точке достигается максимум целевой функции.

Отсюда запишем решение исходной задачи:

max ден.ед. – максимальная прибыль достигается при х₁=500, х₂=0.

Пример 4. Предприятие по производству деталей для швейных машин «Крауз» имеет 3 группы станков, объемы загрузки которых ограничены и составляют 30, 24, 3 станко-часов, производительности каждой группы станков по двум типам деталей А и Б составляет по деталям А – 10, 15, 20 деталей в час, по деталям Б – 20, 40, 60 деталей в час. Компания «Зингер» хочет заказать предприятию партию деталей. Для определения возможной партии деталей предприятию «Крауз» необходимо найти максимальное количество деталей обоих типов, и соответствующее число каждого типа.