Общие принципы оценки работ

1. Полное решение каждой задачи оценивается в 7 баллов.
2. Если задача решена, но с существенными недочётами, то за решение ставится 5 или 6 баллов. Если задача не решена, но есть существенные продвижения, то за решение ставится 1 или 2 балла. Таким образом, оценки в 3 или 4 балла обычно не ставятся. Их можно интерпретировать так: «проверяющий не может однозначно определить, является ли приведённый текст решением задачи».
3. Для некоторых задач возможны исключения из этого правила, если это следует из критериев по конкретной задаче (см. ниже). Например, оценка за задачу может вычисляться как сумма двух или трёх оценок за разные части решения.
4. Если Вы не уверены в оценке некоторых решений в работе, напишите об этом в примечании (в соответствующей строке протокола). В трудных случаях можно поставить вместо оценки за задачу вопросительный знак. В этом случае мы просим выслать вместе с протоколом скан соответствующей работы.
5. Помните, что большинство задач имеют и другие верные решения (отличные от тех, что приведены ниже).
6. К сожалению, практика показывает, что довольно многие участники выполняют работу несамостоятельно. Достоверно выявленное нарушение даже в части задач приводит к дисквалификации работы. Не следует считать нарушением то, что можно объяснить случайным совпадением, а для учеников одной школы — общим учебным опытом (похожий ход решения, похожие чертежи, даже одинаковые ошибки, если они не слишком странные).

Есть два типа нарушений:
а) несколько учеников выполняют работу вместе, или один списывает решение у другого;
б) ученик списывает (возможно, с небольшими изменениями) решение, имеющееся в открытом доступе в интернете (например, на сайте otvety.mail.ru и подобных).

Случай (а) выявляется при проверке работ одного класса или школы. В этом случае следует проверить работы по общим критериям (вероятно, один из учеников всё-таки придумал решение сам, и ему следует сообщить, верно ли оно). Тем не менее, вместо суммы баллов в такой работе следует поставить 0, а в примечании указать на факт совпадения. Например, если у Иванова и Петрова совпадают решения 2-й и 5-й задач, то в примечании к работе Иванова можно указать «кооп Петров (зад. 2, 5)», а к работе Петрова — «кооп Иванов (зад. 2, 5)». («Кооп» означает кооперацию, т. е. совместное выполнение).

Подозрение на случай (б) может возникнуть, если Вы видите примерно одно и то же (и довольно странное) решение у учеников из разных классов или школ. В таком случае нужно ввести в поисковик формулировку задачи или часть решения. Если источник установлен, то следует указать его в примечании к работе. Оценивать такие решения в баллах зачастую бессмысленно (даже верные решеня часто выглядят слишком кратко, «ребёнок так не напишет»). При обнаружении такого решения (верного или неверного) следует вместо баллов поставить в соответствующей клетке знак $. Если факт использования решения из интернета хотя бы в одной задаче очевиден, то оставшуюся часть работы можно не проверять, поставив вместо суммы очков знак $.

Ниже приведены решения задач и критерии оценивания по каждой задаче. Для каждой задачи указаны классы, в которых она предлагалась. Если одна и та же задача в разных классах давалась с незначительными изменениями, то такие изменения приведены в квадратных скобках.

Задача 1

(5-6)

A. Назовём год лихим, если в записи его номера есть одинаковые цифры. Например, все годы с 1988 по 2012 были лихими. Каково максимальное количество лихих лет, идущих подряд, среди уже прошедших лет нашей эры?

Решение. Заметим, что все годы с 1099 по 1202 — лихие (1099 содержит две девятки, числа с 1100 по 1199 — две единицы, 1200 — два нуля, 1201 — две единицы, 1202 — две двойки). При этом 1098 и 1203 — не лихие. Таким образом, имеем 104 подряд идущих лихих года.

Заметим, что в других местах лихие годы идут группами менее чем по 100 (например, потому, что 90, 190, 290, 390, 490, 590, 690, 790, 890, 987, 1087, 1230, 1320, 1420, 1520, 1620, 1720, 1820, 1920, 1980 — не лихие). Итак, 104 — максимальное количество подряд идущих лихих лет.

Критерии. Оценка складывается из двух величин: ответ с указанием промежутка (4 балла) и доказательство того, что более длинного промежутка нет (3 балла).

I Ответ с указанием промежутка: макс. 4 балла.

Объяснять, почему в этом промежутке все годы лихие, не надо.

Если промежуток указан верно, но количество чисел в нём подсчитано неверно (напр. написано, что их 103), то 2 балла (но если количество чисел вообще не указано, то 3 балла).

Если промежуток указан «близко к верному» (потеряно одно или несколько «крайних чисел» 1099, 1200, 1201, 1202): 2 балла, если потеряно одно из чисел, и 1 балл, если более одного (верно ли посчитано количество чисел, неважно).

Указан только ответ (104) — 2 балла; указан ответ от 99 до 103 — 1 балл.

II Доказательство максимальности — макс. 3 балла (это актуально и для неточно указанного промежутка).

Если доказательства нет, но написана фраза, из которой ясно, что участник представляет, как такое доказательство осуществить (например, «среди остальных лет можно найти годы с неповторяющимися цифрами, промежутки между которыми будут меньше 100» или «ясно, что в каждом полтиннике есть нелихой год») — за это даётся 1—2 балла.

Фраза типа «в каждом из остальных столетий найдётся нелихой год» доказательством не является (т. к. дырки между такими годами могут оказаться длиннее 104) и баллов не даёт.

(7[8,9])

B. В стопке лежат одинаковые карточки, на которых записаны числа от 1 до 9 [от 1 до 12, от 1 до 33]. Билл взял одну карточку и тайно отметил на ней 4 числа [4 числа, 10 чисел]. Марк может сделать то же самое с несколькими карточками. Затем карточки открывают. Если на одной из карточек Марка хотя бы два [два, три] из четырёх [четырёх, десяти] отмеченных чисел совпадут с числами Билла, то Марк выигрывает. Какое наименьшее число карточек должен взять Марк и как их заполнить, чтобы наверняка выиграть?