Гомотетия и ее свойства

Гомотетия есть преобразование подобия, однако, не всякое преобразование подобия является гомотетией.

Определение. Гомотетией с центром О и коэффициентом k ¹ 0 называется отображение плоскости, при котором каждая отличная от О точка М плоскости переходит в такую точку М ¢, что точка М ¢ лежит на луче ОМ, причем О М ¢ = k · ОМ. (Обозначают: Н_О ^k (А) = А ¢.

Если k > 0, то векторы ОА и ОА ¢ одинаково направлены, т.е. точки А и А ¢ лежат по одну сторону от точки О; в этом случае гомотетия называется прямой.

Если k < 0, то векторы ОА и ОА ¢ противоположно направлены, т.е. точки А и А ¢ лежат по разные стороны от точки О; в этом случае гомотетия называется обратной.

Гомотетия задается:

1) центром и коэффициентом;

2) центром О и парой соответствующих точек А и А ¢, лежащих на одной прямой с точкой О.

Точка Н_О ^k (В) = В ¢ в этом случае строится следующим образом:

Его легко объяснить, рассмотрев пары подобных треугольников.

В

В

В ¢

В ¢

А ¢

А ¢

А

А

О

О

k > 0 k < 0

Свойства гомотетии

1) Если k = 1, то ОА = ОА ¢ и лучи ОА и ОА ¢ сонаправлены, следовательно, при любом выборе точки А соответствующая точка А ¢ совпадает с точкой А. Имеем тождественное преобразование.

2) Если k = –1, то ОА = ОА ¢ и лучи ОА и ОА ¢ противоположно направлены, следовательно, при любом выборе точки А соответствующая точка А ¢ симметрична точке А. Имеем центральную симметрию. (Т.о. тождественное преобразование и центральная симметрия есть частные случаи гомотетии.)

3) Гомотетия есть взаимно однозначное отображение плоскости на себя, т.е. является преобразованием плоскости: для любой точки А найдется единственная точка А ¢. обратным отображением к гомотетии с коэффициентом k является гомотетия с коэффициентом и тем же центром.

4) Центр гомотетии является единственной двойной точкой.

5) Композицией двух гомотетий с одним и тем же центром является гомотетия с тем же центром и коэффициентом, равным произведению коэффициентов.

6) При гомотетии прямая, не проходящая через центр гомотетии, преобразуется в параллельную ей прямую; прямая, проходящая через центр гомотетии, преобразуется в прямую, совпадающую с данной.

7) При гомотетии с k > 0 каждый луч переходит в сонаправленный с ним луч; с k < 0 – в противоположно направленный с ним луч.

8) При гомотетии сохраняется величина угла.

9) При гомотетии окружность переходит в окружность.

10) Любые две окружности гомотетичны и обладают внутренним и внешним центром гомотетии.

При гомотетии с центром в начале координат точка А (х; у) перейдет в точку А ¢(k х; k у), где k – коэффициент гомотетии.