Подобие. Свойства подобий

Определение. Преобразование фигуры в фигуру называется преобразованием подобия, если при этом преобразовании расстояния между точками изменяются (уменьшаются или увеличиваются) в одно и то же число раз. (Обозначают: П ^k (А) = А ¢.)

Т.е. если П ^k (А) = А ¢, П ^k (В) = В ¢, то А ¢ В ¢ = k · АВ.

Число k называется коэффициентом подобия. При k = 1 преобразование подобия является движением.

Свойства преобразования подобия.

1) Композиция двух подобий есть подобие. Пусть образами точек А и В при подобии с коэффициентом k ₁ являются точки А ¢ и В ¢соответственно, а образами точек А ¢ и В ¢ при подобии с коэффициентом k ₂ являются точки А ¢¢ и В ¢¢. в этом случае А ¢ В ¢ = k ₁· АВ, А ¢¢ В ¢¢ = k ₂ · А ¢ В ¢ Þ А ¢¢ В ¢¢ = k ₁· k ₂ · АВ Þ композиция двух подобий с коэффициентами k ₁ и k ₂ есть подобие с коэффициентом
k ₁· k ₂.

2) Преобразование, обратное подобию с коэффициентом k есть подобие с коэффициентом . Если образами точек А и В при подобии с коэффициентом k ₁ являются точки А ¢ и В ¢, то А ¢ В ¢ =
k · АВ Þ АВ = А ¢ В ¢.

3) При преобразовании подобия при точки А, В, С, лежащие на одной прямой, переходят в точки А ¢, В ¢, С ¢, также лежащие на одной прямой. Причем, если точка В лежит между точками А и С, то точка В ¢ лежит между точками А ¢ и С ¢.

4) Преобразование подобия переводит прямые в прямые, лучи – в лучи, отрезки – в отрезки.

5) Преобразование подобия сохраняет углы между прямыми.

Определение. Если преобразование подобия преобразует фигуру F в фигуру F ¢, то говорят, что фигура F ¢ подобна фигуре F. (Обозначают: F @ F ¢).

Из определения подобия и подлобных фигур следует, что все равносторонние треугольники подобны, все квадраты подобны, все окружности подобны; прямоугольники подобны, когда их стороны пропорциональны.

Подобие фигур обладает свойствами:

· рефлексивности: каждая фигура подобна сама себе (это свойство вытекает из существования тождественного преобразования);

· симметричности: если фигура F подобна фигуре F ¢ с коэффициентом подобия k, то фигура F ¢ подобна фигуре F с коэффициентом подобия ;

· транзитивности: если фигура F подобна фигуре F ¢, а фигура F ¢ подобна фигуре F ¢¢, то фигура F подобна фигуре F ¢¢.

Т.о. отношение подобия является отношением эквивалентности, следовательно, разбивает множество всех фигур плоскости на классы подобных фигур.