Формула Лапласа

На поверхность жидкости в капилляре действует сила поверхностного натяжения, которая будет являться равнодействующей сил, действующих на молекулы поверхностного слоя, прилегающие к стенке сосуда, для смачивающих жидкостей будет направлена наружу (вверх), а для несмачивающих – внутрь (вниз).Под действием этих сил поверхность жидкости около стенки сосуда принимает криволинейную (изогнутую) форму, называемую мениском.Мениск будет вогнутым, если жидкость смачивает стенку сосуда (рис. 8, а)и выпуклым, если не смачивает (рис. 8, б).

Вывод формулы (факультативно). По определению коэффициента поверхностного натяжения можно определить давление внутри шарообразной капли жидкости или давление внутри пузырька газа в жидкости.

Если р - давление внутри шарообразной капли жидкости или внутри пузырька газа, σ - поверхностное натяжение жидкости, r - радиус шарика, то для увеличения радиуса r шарика на величину Δ r (r₁ = r + Δ r) (Рис. 9 а) или увеличения площади его поверхности S на Δ S надо затратить работу, равную приращению поверхностной энергии: Δ W = Δ А = σ Δ S, где площадь шара (вспомним из школьного курса геометрии) равна S = 4 π r².

Тогда Δ А = σ Δ S = σ [4π r₁ ² - 4 π r ²] = σ [4π(r + Δ r)² - 4 π r ²],

а значит: Δ А = 4π σ [(r + Δ r)² - r ²].

Квадрат суммы, как известно, равен (a + b)²= a² + 2ab + b², то:

Δ А = 4π σ [(r + Δ r)² - r ²] = 4π σ [(r ²+ 2 r ּΔ r + ( Δ r)²) - r ²] = 4π σ ּ [ r ²+ 2 r ּΔ r +

( Δ r)² - r ²] = 4π σ [ 2 r ּΔ r + ( Δ r)²] = 4π σ [ 2 r ּΔ r + ( Δ r)²]

Поскольку ( Δ r)² << 2 r ּΔ r, точленом, содержащим ( Δ r)² можно пренебречь. Поэтому для изменения работы мыеем: Δ А = σ ּ 8 π r ּΔ r.

С другой стороны, затраченная работа газа при постоянной температуре равна: Δ А = р Δ V, где изменение объёма шара как дифференциал функции равно .

Тогда Δ А = р Δ V = р ּ 4 π r² ּΔ r. Приравнивая оба выражения, получим:

Δ А = σ ּ 8 π r ּΔ r = р ּ 4 π r² ּΔ r.

В итоге получим: σ ּ 2 = р ּ r, что можно преобразовать так: .

Эта формула называется формулой Лапласа для дополнительного давления под изогнутой поверхностью жидкости.

Формула Лапласа читается так: дополнительное давление под изогнутой поверхностью жидкости вследствие действия сил поверхностного натяжения прямо пропорционально коэффициенту поверхностного натяжения σ, обратно пропорционально радиусу r капли жидкости или пузырька газа в жидкости и направлено в сторону вогнутости (к центру кривизны).

Отметим, что поскольку давление обратно пропорционально радиусу капли жидкости или пузырька газа в жидкости, давление тем больше, чем меньше радиус шарообразной капли.

Формула Лапласа выполняется и для капиллярных явлений.

Под действием сил поверхностного натяжения поверхностный слой жидкости искривлен,образуя мениск, и оказывает дополнительное по отношению к внешнему давление Δ р. В капилляре внешним давлением является атмосферное давление (гидростатическое давление столба атмосферы, находящейся над нами), обусловленное силой тяжести и равное на поверхности моря 760 мм рт.ст. или 1, 0135·10⁵ Па.

Результирующая сила поверхностного натяжения искривленной поверхности направлена в сторону вогнутости (к центру кривизны). В случае сферической поверхности, радиус кривизны которой r, дополнительное давление по формуле Лапласа: .

При хорошем смачивании образуется вогнутый мениск. Силы дополнительного давления Лапласа направлены от жидкости наружу, т.е. вверх.

Дополнительное давление Лапласа действует против атмосферного давления, уменьшая его, обусловливая подъем жидкости в капилляре.

Жидкость будет подниматься в капилляре до тех пор, пока дополнительное давление Δ p (давление Лапласа), обусловленное силами поверхностного натяжения и направленное вверх (к центру окружности мениска), не уравновесится гидростатическим (весовым) давлением p_{гидрост}= ρ gh, действующим вниз (Δ p= p_{гидрост}).

Но радиус мениска равен радиусу капилляра (R = r) только при полном смачивании, когда Θ=0⁰. Во всех других случаях найти радиус мениска экспериментально непросто, поэтому выразим r через R –радиус капилляра. Из рис. 9б видно, что .

Поэтому, учитывая закон Лапласа, получаем равенство: , откуда высота поднятия жидкости в капилляре (*), т.е. зависит от свойств жидкости и материала капилляра, а также от его радиуса.

В случае плохого смачивания (несмачивания) cosΘ< 0 и формула (*) покажет высоту опускания жидкости в капилляре.

Эта же формула даёт возможность определить поверхностное натяжение жидкости по высоте подъема жидкости в капилляре и величине краевого угла между мениском жидкости и стенками сосуда (капиллярный метод):

.

В случае полного смачивания (угол Θ = 0 °, а значит cos Θ = 1) и полного несмачивания (угол Θ = 180°, а значит cos Θ = -1) формула намного упростится.

Существуют и другие методы определения коэффициента поверхностного натяжения σ: а) метод отрыва капель, б) методы отрыва кольца и рамки, в) метод отрывающегося пузырька воздуха (Ребиндера). Они будут рассмотрены ниже.