Пример выполнения контрольной работы 1 (часть 2)

Задание 1. Выполнить действия с матрицами: .

Решение. По правилу умножения матриц:

. Ответ: .

Задание 2. Вычислить определитель матрицы: .

Решение. Преобразуем определитель так, чтобы в первой строке все элементы стали нулевыми, за исключением элемента, расположенного в первом столбце. Для этого умножим все элементы первого столбца на (-2) и сложим с соответствующими элементами второго столбца:

{Теперь умножим все элементы первого столбца на (-3) и сложим с соответствующими элементами третьего столбца} {Разложим определитель по элементам первой строки} {Полученный определитель 3-го порядка преобразуем так, чтобы во второй строке все элементы стали нулевыми, за исключением элемента в первом столбце. Для этого умножим все элементы первого столбца на (-3) и сложим с соответствующими элементами второго столбца} {Теперь умножим все элементы первого столбца на 2 и сложим с соответствующими элементами третьего столбца} {Разложим определитель по элементам второй строки} .

Ответ: .

Задание 3. Определить, имеет ли матрица обратную, и, если имеет вычислить ее: .

Решение. Вычислим определитель матрицы. Преобразуем его так, чтобы в третьей строке все элементы, кроме, расположенного в первом столбце, стали нулевыми. Умножим все элементы первого столбца на (-5) и сложим с соответствующими элементами второго столбца:

{Умножим все элементы первого столбца на (-3) и сложим с соответствующими элементами третьего столбца} {Разложим определитель по элементам третьей строки} . Итак, , матрица – невырожденная и у нее существует обратная.

1. Транспонируем исходную матрицу: .

2. Для каждого элемента транспонированной матрицы найдем алгебраическое дополнение:

; ; ; ; ; ; ; ; .

3. Подставляем в транспонированную матрицу вместо элементов их алгебраические дополнения и делим каждый элемент на определитель исходной матрицы, получаем матрицу, обратную к исходной:

.

4. Проверяем выполнение условия: :

. Ответ: .

Задание 4. Вычислить ранг матрицы .

Решение. Матрица имеет четыре столбца и три строки, поэтому . Кроме того, матрица содержит столбец с нулевыми элементами, и все миноры 3-го порядка будут содержать этот нулевой столбец, кроме одного. Вычислим его: {Преобразуем так, чтобы в третьей строке все элементы, кроме находящегося во втором столбце, были нулевыми. Умножим элементы второго столбца на 2 и сложим с элементами первого столбца. Затем умножим элементы второго столбца на (-3) и сложим с элементами третьего столбца. Разложим по элементам третьей строки} .

Все миноры 3-го порядка равны нулю, следовательно, . Достаточно найти хотя бы один минор 2-го порядка, отличный от нуля, например, . Нашли минор 2-го порядка отличный от нуля, так как все миноры более высокого порядка равны нулю, то делаем вывод, что . Ответ: .

Задание 5. Решить систему уравнений методом Крамера:

Решение. 1)Найдем определитель системы, составленный из коэффициентов при неизвестных:

.

2)Найдем определители , для каждой переменной системы заменой -го столбца элементов на столбец свободных членов системы:

;

;

;

.

Находим решение системы:

; ; ; .

3)Проверяем найденное решение:

Ответ: .

Задание 6. Найти общее и одно из частных решений системы линейных уравнений: .

Решение. 1) Запишем расширенную матрицу системы:

. 2) Преобразуем матрицу к треугольному виду. Для удобства переставим первую и третью строки матрицы. Затем преобразуем матрицу так, чтобы в первом столбце получились все нули, кроме элемента :

3)Для удобства вычислений переставим местами второй и третий столбцы матрицы. Запишем вверху столбцов названия переменных. Затем умножим элементы второй строки на 5 и сложим с соответствующими элементами третьей строки: .

4)За базисный минор возьмем ненулевой определитель: , в который вошли коэффициенты при переменных: , , – это зависимые переменные, следовательно, – независимая переменная.

5)Выразим зависимые переменные через независимую :

, откуда ;

, откуда ;

, откуда .

6)Найдем одно частное решение, например, пусть , тогда

; ; .

7) Проверим полученное решение:

.

Ответ: Общее решение системы:

; ; .

Частное решение при : ; ; .

Задание 7. Найти общее решение и фундаментальную систему решений:

.

Решение: 1) Определим ранг матрицы. Преобразования можно проводить только со строками. Поэтому умножим все элементы первой строки на (-3) и сложим с соответствующими элементами второй строки. Затем умножим все элементы первой строки на (-1) и сложим с соответствующими элементами третьей строки. Затем умножим все элементы первой строки на (-2) и сложим с соответствующими элементами четвертой строки:

2)Вторая и третья строки пропорциональны, поэтому одну из них можно вычеркнуть, ранг матрицы от этого не изменится:

3)Для простоты вычислений переставим вторую и третью строки местами. Умножим все элементы второй строки на и сложим с соответствующими элементами третьей строки:

4)За базисный минор возьмем ненулевой определитель данной матрицы, например: . В него вошли коэффициенты при переменных , и – это зависимые переменные, следовательно, независимыми будут и . Выразим зависимые переменные через независимые, тем самым найдем общее решение системы. Полученная после преобразований матрица соответствует системе:

, откуда общее решение:

5)Фундаментальная система решений будет содержать решений, то есть из 2 решений, причем они должны быть линейно независимыми. Чтобы строки матрицы решений были линейно независимыми необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы был равен числу строк, то есть 2. Тогда адав значения независимым переменным из строк этого определителя, можно найти линейно независимые решения.

6)Простейший определитель второго порядка не равный нулю есть , откуда первое решение: ; ; ; ; , второе решение: ; ; ; ; .

Ответ: Общее решение системы: ; фундаментальная система решений: .

Введение в численные методы. Основные понятия