Прямая на плоскости в декартовой системе координат

На прямой берем произвольную точку M(x,y) и, используя свойства этой прямой, составляем уравнение, которому должны удовлетворять координаты этой точки. При составлении уравнения используем аппарат векторной алгебры.

Опр. Любой вектор =(A,B), перпендикулярный данной прямой, называется нормальным вектором данной прямой.

Опр. Любой вектор =(m,n), параллельный данной прямой, называется направляющим вектором данной прямой.

Существует два способа задания прямой линии на плоскости.

Способ 1. На прямой задана точка M₀(x₀,y₀) и известен нормальный вектор прямой =(A,B). (Рис.1)

Рис.10

Пусть M(x,y) – произвольная точка прямой. Векторы и ортогональны и следовательно их скалярное произведение равно нулю. Уравнение прямой в векторной форме имеет вид: (1).В координатной: A(x-x₀)+B(y-y₀)=0 ( 2 )

Уравнение (2), записанное в виде: Ax+By+C=0 ( 3 ), где C= -Ax₀-By₀ называется общим уравнением прямой. Заметим, что коэффициенты при x и y в общем уравнении прямой определяют координаты нормального вектора прямой.

Способ 2. На прямой задана точка M₀(x₀,y₀) и известен направляющий вектор прямой

.

Рис.11

Возьмем на прямой произвольную точку M(x,y). Условие коллинеарности векторов =(x-x₀,y-y₀) и =(m,n) и будет уравнением прямой:

( 4 )

Уравнение(4) называется каноническим уравнением прямой на плоскости.

Все задачи на составление уравнения прямой на плоскости сводятся к получению и (или) использованию уравнений (2,4).

Рассмотрим некоторые примеры:

а) Составить параметрические уравнения прямой.

Используем уравнение (4). Введем параметр = t. Из каждого равенства выразим x и y: (5). Полученные уравнения и есть параметрические уравнения прямой на плоскости.

б) Составить уравнение прямой, проходящей через две заданные точки A(x₁,y₁) и B(x₂,y₂).

Рис. 12

Вектор =(x₂-x₁,y₂-y₁) - направляющий вектор прямой. На прямой возьмем произвольную точку М (х, у). Векторы и коллинеарны, и следовательно их соответствующие координаты пропорциональны:

(6)

Это уравнение прямой, проходящей через две заданные точки.

в) Составить уравнение прямой, если известна точка M₀(x₀,y₀) на прямой и угол α между прямой и осью ОХ?

Возьмем на прямой произвольную точку M(x,y) (Рис.13).

Рис.13

Из рисунка видно, что = - тангенс угла между прямой и осью ОХ.

Обратимся к уравнению прямой (2) A(x-x₀)+B(y-y₀)=0, где А и В – координаты нормального вектора прямой. Из уравнения следует, что

называют угловым коэффициентом прямой. Из уравнения прямой (2) получаем: y-y₀=k(x-x₀) ( 7 ) – уравнение прямой с угловым коэффициентом k, проходящей через точку М₀. Уравнение (7) можно преобразовать к виду y=kx+b ( 8 ), где b=y₀-kx₀. Уравнение (8) называется уравнением прямой с угловым коэффициентом.

г) Записать уравнение прямой в отрезках:

Вернемся к уравнению (30 и перенесем свободный член вправо

Ax+By =-C

Разделим обе части уравнения на -С:

или

Введем обозначения

Получим - уравнение прямой в отрезках, где а, в – величины отрезков, которые прямая отсекает на координатных осях.

Задача. Заданы координаты вершины треугольника А(1,-2),В(3,-1),С(0,1). Составить уравнения:

1) стороны АС

2) высоты ВД

3) медианы ВЕ

1) - направляющий вектор

М(х,у) прямой

- каноническое ур-ие прямой

3х +у -1 =0 – общее ур-ие прямой