Несчетные множества. Мощность континуума

Теорема. Мощность действительных чисел отрезка [0;1] больше чем счетное.

Доказательство (от противного).

Предположим, мощность отрезка [0;1] счетна. Т.е. можно установить взаимнооднозначное соответствие:

1 ~ 0.3751…

2 ~ 0.2151…

3 ~ 0.2216…

…

Построим число a из пронумерованных чисел согласно правилам:

1. Из первого числа возьмем первую цифру после запятой, из второго числа – вторую, из третьего – третью и так далее.

2. Если текущая цифра равна единице, то заменим ее на двойку. В противном случае цифру заменим на единицу.

В результате получим: a = 0.122…

a Î [0;1] и числу a соответствует nÎN.

Это противоречит тому, что, когда мы изменили a, мы изменили цифру, стоящую на n-ном десятичном месте. Следовательно, a не может стоять на n-ном месте. Следовательно, мы пришли к противоречию и, значит, мощность множества действительных чисел несчетна.

Мощность множества действительные чисел обозначим א₁ или с (“ континуум”).

Поскольку множество всех действительных чисел несчётно, то א₀ < c.

Гипотезу континуума можно сформулировать так: мощность континуума — наименьшая, превосходящая мощность счетного множества, и «промежуточных» мощностей между счетным множеством и континуумом нет.

При этом любое бесконечное подмножество континуума является либо счётным, либо континуальным.

Континуум-гипотеза стала первой из двадцати трёх математических проблем, о которых Гильберт доложил на II Международном Конгрессе математиков в Париже в 1900 году. Поэтому континуум-гипотеза известна также как первая проблема Гильберта.

Континуум – не самая большая из бесконечных мощностей. Так, мощность множества всех подмножеств точек числовой оси больше, чем мощность самого множества всех точек оси. Она обозначается 2^c и называется гиперконтинуумом.

Гипотеза континуума, как оказалось, не зависит от выбранной аксиоматики теории множеств.