Предпосылки аксиоматического построения теории множеств

До второй половины XIX века понятие “множества” не рассматривалось в качестве математического (“множество книг на полке”, “множество человеческих добродетелей” и т.д.— всё это чисто бытовые обороты речи). Положение изменилось, когда немецкий математик Георг Кантор разработал свою программу стандартизации математики, в рамках которой любой математический объект должен был оказываться тем или иным “множеством”. При этом общее понятие “множество”, которое Кантор считал центральным для математики, он рассматривал как “многое, мыслимое как единое”. Это вполне соответствовало умонастроению самого Кантора, подчёркнуто называвшего свою программу не “теорией множеств” (этот термин появился много позднее), а учением о множествах (Mengenlehre).

Программа Кантора вызвала резкие протесты со стороны многих современных ему крупных математиков. Особенно выделялся своим непримиримым к ней отношением Леопольд Кронекер, полагавший, что математическими объектами могут считаться лишь натуральные числа и то, что к ним непосредственно сводится (известна его фраза о том, что “бог создал натуральные числа, а всё прочее — дело рук человеческих”). Тем не менее, некоторые другие математики — в частности, Готлоб Фреге и Давид Гильберт — поддержали Кантора в его намерении перевести всю математику на теоретико-множественный язык.

В начале XX века Бертран Рассел, изучая наивную теорию множеств, пришел к парадоксу (с тех пор известному как парадокс Рассела). Таким образом, была продемонстрирована несостоятельность наивной теории множеств и, связанной с ней, канторовской программы стандартизации математики.

Парадокс Рассела. Пусть X – множество всех множеств, которые не являются собственными элементами. Тогда X в том и только том случае является собственным элементом, когда оно не является собственным элементом.

Доказательство. Предположим, что XÎX. Тогда X является собственным элементом и, значит, не входит в X по определению X. Таким образом, XÎXÞXÏX. С другой стороны, если XÏX то X не является собственным элементом и, значит, входит в X по определению X. Таким образом. XÏXÞ XÎX.