Розв’язання. № xi yi xi + yi P(xi + yi) = P(xi)×P(yi)

1. Складемо таблицю

№	xi	yi	xi + yi	P(xi + yi) = P(xi)×P(yi)
				0,3×0,1=0,03
				0,3×0,1=0,03
				0,3×0,1=0,03
				0,3×0,2=0,06
				0,3×0,5=0,15
				0,4×0,1=0,04
				0,4×0,1=0,04
				0,4×0,1=0,04
				0,4×0,2=0,08
				0,4×0,5=0,2
				0,3×0,1=0,03
				0,3×0,1=0,03
				0,3×0,1=0,03
				0,3×0,2=0,06
				0,3×0,5=0,15

Таким чином, закон розподілу числа отриманих балів команди буде:

xi
pi	0,03	0,07	0,1	0,13	0,26	0,26	0,15

2. Знаходимо математичне сподівання:

М (х) = = 4×0,03 + 5×0,07 + 6×0,1 + 7×0,13 + 8×0,26 + 9×0,26 + 10×0,15 = 7,9.

Для знаходження дисперсії скористуємось формулою (4.3). Для чого, спочатку обчислимо математичне сподівання випадкової величини х2 і складемо закон розподілу цієї величини:

х 2
рі	0,03	0,07	0,1	0,13	0,26	0,26	0,15

Таким чином, отримаємо:

М (х ²) = 16×0,03 + 25×0,07 + 36×0,1 + 49×0,13 + 64×0,26 + 81×0,26 + 100×0,15 = 64,9.

і оскільки М2(х) = 62,41, то отримаємо дисперсію: D = 64,9 – 62,41 = 2,49.

3. Функцію розподілу знаходимо за визначенням P(x ₁ £ x < x ₂) = F (x), тобто,

1) P (– ¥ £ x < 4) = 0;

2) P (4 £ x < 5) = 0,03;

3) P (5 £ x < 6) = 0,03 + 0,07 = 0,1;

4) P (6 £ x < 7) = 0,1 + 0,1 = 0,2;

5) P (7 £ x < 8) = 0,2 + 0,13 = 0,33;

6) P (8 £ x < 9) = 0,33 + 0,26 = 0,59;

7) P (9 £ x < 10) = 0,59 + 0,26 = 0,85;

8) P (10 £ x < ¥) = 0,85 + 0,15 = 1.

Тоді, графік функції розподілу матиме такий вигляд (рис. 1.3):

Рис. 1.3 Графік функції розподілу

Приклад 4.4 Вірогідний прогноз для відсоткової зміни вартості акцій по відношенню до їх поточного курсу (величина Х) протягом шести місяців представлений у вигляді закону розподілу

X
pi	0,1	0,1	0,2	0,3	0,2	0,1

Знайти ймовірність того, що покупка акцій буде більш вигідною, ніж розміщення грошей на банківський депозит під 3% на місяць строком на 6 місяців.

Розв’язання. Приріст суми на банківському депозиті за умов 3% на місяць складе через 6 місяців [(1,03)⁶ – 1]×100% = 19,4%. Ймовірність того, що покупка акцій вигідніше банківського депозиту, визначається сумою ймовірностей, відповідних більш високому росту курсу акцій: P (X > 19,4) = 0,3 + 0,2 + 0,1 = 0,6.

Приклад 4.5 Нехай щоденні витрати на обслуговування та рекламу автомобілів у автосалоні складають в середньому 120 тис. грош. од., а число продаж автомашин (Х) протягом дня підпорядковане закону розподілу:

X
pi	0,25	0,2	0,1	0,1	0,1	0,1	0,05	0,05	0,025	0,025

Знайти математичне сподівання щоденного прибутку при ціні машини у 150 тис. грош. од. та дисперсію щоденної продажі числа автомашин.

Розв’язання. Щоденний прибуток обчислюється за формулою:
П = (150 Х – 120). Шукана характеристика М (П) знаходиться з використанням властивостей математичного сподівання (тис. грош. од.): М (П) = М (150 Х –120)= = 150 М (Х) – 120. Знайдемо за формулою (4.1) значення М (Х) = 0×0,25 + 1×0,2 +
+ 2×0,1 + 3×0,1 + 4×0,1 + 5×0,1 + 6×0,05 + 7×0,05 + 8×0,025 + 9×0,025 = 2,675. Таким чином математичне сподівання щоденного прибутку складе: М (П) = 150×2,675 –
– 120 = 281,25 тис. грош. од.

Дисперсію знайдемо за формулою (4.3) і для цього знайдемо математичне сподівання М (Х ²) = 0×0,25 + 1×0,2 + 4×0,1 + 9×0,1 + 16×0,1 + 25×0,1 + 36×0,05 +
+ 49×0,05 + 64×0,025 + 81×0,025 = 13,475. Тоді шукана величина дисперсії буде такою: D (X) = 13,475 – 2,675² = 6,319.

Приклад 4.6 Банк видав кредити 1000 різним позичальникам в розмірі 100 тис. грош. од. кожному під ставку позикового відсотка 30%. Знайти математичне сподівання, дисперсію та середньоквадратичне відхилення прибутку банку, якщо ймовірність повернення кредиту позичальником дорівнює p = 0,85.

Розв’язання. Оскільки постачальник між собою не пов’язані, то можна вважати, що маємо 1000 незалежних випробувань. Ймовірність утрати кредиту для банку в кожному випробуванні дорівнює q = 1 – p = 1 – 0,85 = 0,15. Нехай Х – число постачальників, що повернули кредит з позиковими відсотками, тоді прибуток банку визначається за формулою: П =(1+30%/100%)×100× Х –1000×100 = = 130 Х – 100 000.

Х є випадковою величиною з біноміальним законом розподілу, тобто ймовірність кожного х_і обчислюється за формулою Бернуллі. У цьому випадку математичне сподівання прибутку, згідно формули (4.1), дорівнює: М (П) = 130´ ´ М (Х) – 100 000 = 130×1000×0,85 – 100 000 = 10 500 тис. грош. од.

Використовуючи властивості дисперсії та формули обчислення дисперсії для біноміального закону розподілу випадкової величини, одержимо дисперсію прибутку банку: D (П) = D (130× X – 100 000) = 130²×1000×0,85×0,15 = 2154750 тис. грош. од. За формулою (4.4) обчислюємо середньоквадратичне відхилення прибутку s(П) = = 1467,91 тис. грош. од.

Зауваження. Оскільки видача кредиту має зміст тільки при додатному математичному сподіванні прибутку (додатна середня величина прибутку), то позначивши n – кількість позичальників, S – розмір кредиту, r – ставка позикового відсотка, p – ймовірність повернення кредиту позичальником, q – ймовірність втрати кредиту для банку та з умови M (П) > 0 можна записати умову на ставку позикового відсотка r > 100 q / p або r > 100(1 – p)/ p.

10. Неперервні випадкові величини та їх характеристики. Література: [15], розд. ІІІ, §20-21, с. 66-72.

Випадкова величина – називається неперервною, якщо функція розподілу її скрізь безперервна, а похідна функції безперервна в усіх точках, за винятком зліченного числа точок на будь-якому скінченому інтервалі.

Для безперервної величини, імовірність того, що величина Y набуде значення, що входить в інтервал [ x ₁; x ₂], дорівнює різниці функції розподілу, тобто

P (x ₁ £ Y £ x ₂) = F (x ₂) – F (x ₁). (4.6)

Щільністю ймовірності f (x) називається похідна від функції розподілу випадкової величини

f (x) = F ¢(x). (4.7)

Інакше, функцію розподілу можна знайти, якщо відома щільність розподілу за формулою:

. (4.8)

Функція f (x) характеризує щільність, з якою розподіляються значення випадкової величини в даній точці. Інколи f (x) називають диференціальною функцією розподілу, або диференціальним законом розподілу.

Крива, що відображає щільність розподілу випадкової величини, називається кривою розподілу.

Властивості щільності розподілу.

1. Щільність розподілу – невід’ємна функція, тобто геометрично значить, що всі криві вище OX.

2. , (4.9)

отже на усьому інтервалі х Î (–¥;¥) подія вірогідна.

Теорема. Імовірність того, що безперервна випадкова величина x набуде яке-небудь значення з інтервалу (a, b), рівна визначеному інтегралу:

. (4.10)

Зауваження. Функція розподілу F (x), як і всяка ймовірність, є величина безрозмірна. Розмірність щільності розподілу обернена розмірності випадкової величини.

Математичним сподіванням M (x)безперервної випадкової величини x, щільністю ймовірності якої є функція f (x), називається величина інтегралу:

, (4.11)

а дисперсія , (4.12)

або . (4.13)

Приклад 4.7 Випадкова величина Х підпорядкована закону розподілу з щільністю f (x), причому

Потрібно: а) знайти коефіцієнт а; б) побудувати графік розподілу щільності y = f (x); в) знайти імовірність попадання випадкової величини в інтервал (1,2); г) знайти функцію розподілу F (x).

Розв’язання. а) Оскільки всі значення випадкової величини знаходяться в інтервалі (0; 3), то за формулою (4.9): Þ a = 2/9.

б) Графік розподілу щільності наведений на рис. 1.4.

в) За визначенням знаходимо шукану ймовірність попадання випадкової величини в зазначений інтервал (4.10):

Рис. 1.4

P (1 < x < 2) = .

г) функцію розподілу знаходимо за формулою (4.8): .

Завдання до практичного заняття №4

«Дискретні випадкові величини»

У задачах 4.1 – 4.18 знайти функцію розподілу, побудувати за функцією графік, знайти математичне сподівання, дисперсію та квадратичний відхил.

4.1. Банк видає п’ять кредитів. Ймовірність неповернення кредиту дорівнює 0,2 для кожного із позичальників. Скласти закон розподілу кількості позичальників, що не повернули кредит по закінченню терміну кредитування.

4.2. В партії з шести деталей є чотири стандартних. Випадково відібрані три деталі. Скласти закон розподілу числа стандартних деталей серед відібраних.

4.3. Визначити закон розподілу числа очок, вибитих стрільцем при п’яти пострілах, якщо ймовірність попадання при одному пострілі складає 0,4, і за кожне попадання стрілець одержує два очки, а за кожний промах у нього віднімається по одному очку.

4.4. Випробування складається з трьох незалежних кидків монети. Для випадкового числа появи герба знайти закон розподілу. Обчислити ймовірність того, що буде не менш одного, але менше двох випадань герба.

4.5. Два бомбардувальники по черзі скидають бомби на ціль до першого попадання. Ймовірність попадання в ціль першим бомбардувальником дорівнює 0,7, а другим – 0,8. Першим скидає бомби перший бомбардувальник. Скласти закон розподілу числа скиданих бомб обома бомбардувальниками, якщо вони вспівають скинути не більш чотирьох бомб загалом.

4.6. Два стрільці, для кожного з яких ймовірність попадання в ціль дорівнює 0,6, роблять три залпи по два постріли. Записати закон розподілу числа парних попадань і загального числа попадань.

4.7. До магазину завезено 10 ящиків з продуктами, у двох з яких вони неякісні. Навмання для продажу беруть два ящики. Визначити закон розподілу та функцію розподілу дискретної випадкової величини, що дорівнює числу ящиків з якісними продуктами.

4.8. Знайти функцію розподілу числа улучень у ціль, якщо зроблено чотири постріли, а ймовірність улучення при одному пострілі дорівнює 0,3. Обчислити ймовірність того, що ціль буде уражена не менш одного, але менше трьох разів.

4.9. Ймовірність того, що в бібліотеці необхідна студенту книга вільна, дорівнює 0,3. Записати закон розподілу кількості бібліотек, що відвідає студент, якщо він є абонентом чотирьох бібліотек.

4.10. Клієнти банку не повертають кредити з ймовірністю 0,1. Скласти закон розподілу числа повернених кредитів з чотирьох виданих.

4.11. На елеваторі проводиться помел зерна, для контролю періодично проводитися перевірка якості помелу, тобто відповідність вищому сорту. Для цього беруть підряд мішки із зерном (не більше чотирьох) і при виявленні мішка із зерном, який не відповідає вищому сорту, припиняють роботу елеватора для регулювання. Вважаючи, що ймовірність помелу вищого сорту дорівнює 0,8, скласти теоретичний закон кількості перевірок, зроблених при одній серії випробувань.

4.12. На шляху руху автомобіля п’ять світлофорів, кожний з яких рівноймовірно або дозволяє або забороняє наступний рух. Знайти закон розподілу ймовірностей величини, яка дорівнює числу світлофорів, пройдених автомобілем до першої зупинки.

4.13. Написати закон розподілу числа появи герба при чотирьох кидках монети.

4.14. Серед 30 контрольних робіт п’ять оцінено найвищим балом. Навмання беруть чотири роботи. Визначити функцію розподілу дискретної випадкової величини, що дорівнює числу оцінених найвищим балом робіт серед узятих. Знайти ймовірність, що серед взятих робіт буде не менш однієї та не більше трьох робіт з вищим балом.

4.15. Студент знає 30 питань з 50. При здачі заліку навмання студенту задається п’ять питань. Скласти закон розподілу кількості питань, на які студент знає відповідь. Знайти ймовірність складання заліку, якщо для цього студенту потрібно відповісти більше ніж на половину запитань.

4.16. Студенту задається три питання. Ймовірність відповіді на кожний з них складає 0,9. Записати закон розподілу числа відповідей студента.

4.17. У партії з 100 радіоламп знаходитися 15 бракованих. Випадковим чином з цієї партії узяли п’ять радіоламп. Знайти закон розподілу числа бракованих радіоламп з цих вибраних.

4.18. Чотири стрільці роблять по пострілу в одну мішень. Ймовірність попадання в нею першим стрільцем – 0,5, другим – 0,6, третім – 0,7, четвертим – 0,4. Скласти закон розподілу числа попадань у мішень.

4.19. Закони розподілу двох випадкових величин Х і Y задані відповідно таблицями:

Х						Y
р	0,15	0,2	0,4	0,25		р	0,2	0,3	0,5

Знайти закон розподілу випадкової величини Z = 2 X – 3 Y та математичне сподівання і дисперсію випадкової величини Z.

4.20. Ймовірний прогноз для відсоткової зміни вартості акцій до їх поточного курсу (Х) протягом семи місяців представлений таким законом розподілу

X
pi	0,08	0,1	0,2	0,3	0,2	0,07	0,05

Знайти ймовірність того, що покупка акцій буде більш вигідною, ніж розміщення грошей на банківський депозит під 2% на місяць строком на 8 місяців.

4.21. Щоденні витрати на обслуговування та рекламу офісної техніки у сервісному центрі складають в середньому 3 тис. грош. од., а число продаж офісної техніки (Х) протягом дня підпорядковується закону розподілу:

X
pi	0,2	0,25	0,12	0,11	0,1	0,09	0,06	0,04	0,03

Знайти математичне сподівання щоденного прибутку при середній ціні од. офісної оргтехніки у 4,5 тис. грош. од. та середньоквадратичне відхилення щоденної продажі числа офісної оргтехніки.

4.22. Банк видав кредити 1500 різним позичальникам в розмірі 250 тис. грош. од. кожному під ставку позикового відсотка 28%. Знайти математичне сподівання, дисперсію та середньоквадратичне відхилення прибутку банку, якщо ймовірність повернення кредиту позичальником дорівнює p = 0,78. Обчислити мінімальну ставку позикового відсотка для банку за представлених умов.

«Неперервні випадкові величини»

4.23. Щільність розподілу випадкової величини задається формулою . Знайти C.

4.24. Встановити, чи може бути функція f (x) щільністю ймовірності деякої випадкової величини, якщо .

В задачах 4.25.–4.30. для випадкової величини, заданої щільністю розподілу, знайти A, побудувати функцію розподілу та її графік, обчислити математичне сподівання, дисперсію та визначити ймовірність того, що випадкова величина попаде у інтервал (a, b).

4.25. ; a = 0, b = 3.

4.26. ; a = 0,2, b = 0,7.

4.27. ; a = 0, b = p/4.

4.28. ; a = 0, b = 2.

4.29. ; a = 1, b = 2.

4.30. , a = 1,0, b = 1,5.

В задачах 4.31.–4.36. для заданої випадкової величини у вигляді інтегральної функції знайти A, побудувати щільність розподілу, обчислити математичне сподівання, дисперсію, середньоквадратичний відхил та визначити ймовірність того, що випадкова величина набуде значення з інтервалу (a, b).

4.31. ; a = 1, b = 2.

4.32. ; a = 0, b = 0,5.

4.33. ; a = 0, b = 0,5.

4.34. a = 2,5, b = 2,75.

4.35. a = –14, b = –12.

4.36. a = 3, b = 4.

В задачах 4.37.–4.41. для заданої випадкової величини щільністю розподілу побудувати функцію розподілу, обчислити математичне сподівання, дисперсію, середньоквадратичний відхил та визначити ймовірність того, що випадкова величина набуде значення з інтервалу (a, b).

4.37. ; a = 1, b = 3.

4.38. ; a = 0, b = 0,6.

4.39. ; a = 2, b = 3.

4.40. ; a = p/9, b = p/6.

4.41. ; a = p/4, b = p/3.

Контрольні питання

1. Поняття випадкової величини.

2. Дискретні випадкові величини.

3. Числові характеристики випадкових величин.

4. Математичне сподівання випадкової величини та його властивості.

5. Дисперсія випадкової величини та її властивості.

6. Функція розподілу дискретної випадкової величини.

7. Поняття середньоквадратичного відхилу.

8. Неперервна випадкова величина та її характеристики.

9. Щільність розподілу неперервної випадкової величини та її властивості.

10. Інтегральна функція розподілу дискретної випадкової величини та її властивості.

11. Ймовірність попадання значення у визначений інтервал.