Розв’язання

1. Для заняття поста голови 25 можливих способів, а для секретаря залишається 24, тоді для скарбника – 23 способи. Отже число усіх способів, якими можна виконати 3 дії будуть за теоремою множення: S ₃ = 25×24×23 = 13800.

2. Після обрання голови, секретаря і скарбника залишається 22 учасника. З них 4 поста в правлінні можуть бути зайняті кількістю способів, які обчислені за допомогою сполучення, тобто з (1.4) одержимо = 7315.

Приклад 1.10 У транспортній компанії працює 12 водіїв. Кожний другий день необхідно направити двох водіїв на кожен з п’яти заводів. Скількома способами можна направити водіїв на ці заводи?

Розв’язання. Необхідно виконати послідовно п’ять дій. Перша дія – з 12 водіїв відібрати двох. Це можливо зробити способами. Друга дія – з 10 водіїв, що залишилися, відібрати двох. Це буде способи. Для третьої дії буде способів. Аналогічно для четвертої і п’ятої дії маємо і способів. Отже за теоремою множення, загальна кількість способів буде:

.

3. Класичне визначення ймовірності. Література: [15], розд. ІІІ, §2, с. 32-34.

Число, яке є мірою об’єктивної можливості здійснювання події називається його ймовірністю. Ймовірність події позначають P (A).Відношення числа сприятливих випадків настання події A до числа можливих випадків називається ймовірністю події A

. (1.5)

де m – число випробувань, в яких подія A наступила;

n – загальне число випробувань.

Відношення числа m настання даної випадкової події A до даної серії випробувань n називається частотою або частістю появи події A

. (1.6)

Ймовірність будь-якої події не може бути від’ємною або більшеодиниці, отже 0 £ Р (А) £ 1, причому P (A) = 0, якщо подія A – неможлива, а P (A) = 1 якщо A – вірогідна подія.

Приклад 1.11 З 60 питань, що входять до екзаменаційних білетів, студент підготував 50 питань. Яка ймовірність того, що два питання з білета студент знає, якщо в білет входить два питання.

Рис. 1.1

Розв’язання. Загальне число можливих випадків – , а студент знає тільки 50 питань, отже число сприятливих випадків буде , тоді шукана ймовірність з (1.5) буде такою .

Приклад 1.12 Монету кинуто два рази. Знайти ймовірність того, що хоча б один раз з’явиться герб.

Розв’язання. Побудуємо дерево ймовірностей (рис. 1.1). Нехай г – випав герб, а ц – цифра. Отже, загальна кількість можливих випадків n = 4. Хоча б один раз герб з’являється у трьох подіях, тобто m = 3. Тоді отримаємо Р (А) = 3/4.

Приклад 1.13 На станції відправлення є вісім замовлень на відправлення товарів: п’ять замовлень у межах країни і три на експорт. Яка ймовірність того, що два взяті навмання: 1) внутрішні замовлення; 2) одне замовлення у межах країни й одне на експорт; 3) два замовлення на експорт?

Розв’язання. Для кожного питання знайдемо числа усіх можливих та сприятливих появі даних подій:

1) ; , тоді ;

2) ; , тоді ;

3) ; , тоді .

Зауваження. Правильність отриманого розв’язку можна перевірити так: сума верхніх (нижніх) індексів чисельника повинна дорівнювати верхньому (нижньому) індексу знаменника (див. випадок 2)). Особливо це стосується верхніх індексів, оскільки при виборі нуль об’єктів число сполучень буде дорівнювати одиниці (див. випадки 1 або 3).

Приклад 1.14 З партії, що складається з 30 виробів, серед яких п’ять нестандартних, для контролю вибирається 10 виробів. Знайти імовірність того, що всі 10 виробів будуть стандартними.

Розв’язання. Число усіх подій, тобто кількість відібраних будь-яких 10 виробів з 30 дорівнює: . Число сприятливих подій, тобто усі 10 повинні бути стандартними буде , де кількість стандартних визначається за умовою задачі 30 – 5 = 25. Таким чином, шукана ймовірність буде: .

Приклад 1.15 У магазині 10 продавців. З них 6 жінок і 4 чоловіки. У зміну зайняті 3 продавця. Знайти імовірність того, що у випадково обрану зміну вийдуть двоє чоловіків і одна жінка.

Розв’язання. Кількість людей, відібраних будь-яким чином в одну зміну виражається так: . Жінок в цій зміні повинно бути одна з шести, тобто , а чоловіків – два з чотирьох, тобто . При цьому число сприятливих подій буде . Таким чином, ймовірність цієї події буде дорівнювати . Перевіряємо суми верхніх та нижніх індексів: 1+2=3 та 6+4=10.

Завдання до практичного заняття №1

«Алгебрай подій»

1.1. В банку до каси стоїть черга клієнтів. Нехай подія А – це 10 клієнтів бажають отримати гроші з картрахунку, В – це 7 клієнтів бажають обміняти одну валюту на іншу та С – це 8 осіб бажають відкрити депозит. Визначити зміст подій , B × C, A + B.

1.2. Випадково підкидається гральна кістка. Нехай А – випало парне число очок, В – випало число очок менше трьох. Описати події: , , A × B, , , .

1.3. Деяка особа на біржі продає акції. Подія А – в даний час акції скуповуються; подія В – ціна акції вище за номінальну ціну. Описати події , , , .

1.4. Для підготовки до семінару студенту потрібна книга, яка є в двох бібліотеках міста, але вона може бути зайнята другим читачем. Записати подію того, що студент підготується до екзамену.

1.5. З групи, що нараховує 25 студентів, 20 захоплюються спортом (подія А), 9 – музикою (подія В), 6 – музикою та спортом. Поясніть, що означають такі події: , , .

1.6. З множини подружніх пар випадково обирається одна. Розглянемо такі події: А – “чоловікові більше 20 років”, В – “чоловік старший за дружину”, С – “дружині більше 20 років”. Поясніть зміст подій: А × В × С, .

1.7. З таблиці випадкових чисел випадково узяте одне число. Подія А – обране число ділиться на 5; В – дане число закінчується нулем. Що означає подія .

1.8. Касир банку отримує премію за умов, якщо один з п’яти обслугованих ним VIP-клієнтів укладе договір з банком більш ніж на два роки або клієнт укладе депозитну угоду на суму більше ніж 100 000 грн. та жодного разу не спізниться на роботу. За допомогою алгебри подій описати випадок одержання касиром премії.

1.9. Корабель має один кермовий пристрій, чотири котли та дві турбіни. Подія А означає справність кермового пристрою, В_k (k = 1,2,3,4) – справність k -го котла, а C_j (j = 1,2) – справність j -й турбіни. Подія D – корабель керований, що можливо в тому випадку, коли буде справний кермовий пристрій, хоча б один котел, хоча б одна турбіна. Виразити події D і через A, В_k і C_j.

1.10. Кур’єр доставляє в межах містах важливу кореспонденцію. Нехай подія А – це на шляху його проходження не зустрінеться жодної автомобільної пробки, подія В – у місті оголошено свято і основні шляхи перекриті, подія С – на шляху руху його зупинить інспектор ДАІ. Описати події вчасної доставки кореспонденції та із затримками.

1.11. Машинно-котельна установка складається з двох котлів і однієї машини. Подія A – справна машина, подія В_k (k = 1,2) – справний k -й котел. Подія С означає працездатність машинно-котельної установки, що можливо в тому випадку, якщо справна машина і хоча б один котел. Виразити події С і через А і В_k.

1.12. Нехай подія А – до банку звернулась фізична особа, подія В – до банку звернулась юридична особа, подія С – з рахунку були переведені гроші на інший, подія D – з рахунку було знято гроші. Описати, що означають такі події: (А + В)× С, А × С × D, A ×(C + D), B × С.

1.13. Нехай подія А – на вулиці сонячна погода, подія В – пішов дощ. Описати подію А × В.

1.14. Події А_і полягають у продажі кондитерського виробу за 1 гривню 50 копійок, події В_і – продаж безалкогольного напою за 2 гривні 80 копійок. Описати подію рентабельності булочного кіоску, якщо його витрати складають 5 гривень на годину.

1.15. Подія А_і полягає в тому, що менеджер відділу побутової техніки продасть плазмову панель, подія В_і – продасть звичайний телевізор, а подія С_і – пральну машинку. Описати подію D – менеджер виконає план продажу за тиждень, якщо для цього потрібно продати дві плазмові панелі, або чотири звичайних телевізори, або три пральних машини.

1.16. Прибуток фірми складається з реалізації товару та сплати податку. Якщо позначити подію А – товар реалізований; В – сплачено податок. Що означають події а) А×В; б) ; в) .

1.17. Прилад складається з двох блоків першого типу і трьох блоків другого типу. Події A_k (k = 1,2) справний k -й блок першого типу, B_j (j = 1,2,3) – справний j -й блок другого типу. Прилад працює, якщо справний хоча б один блок першого типу і не менш двох блоків другого типу. Виразити подію С, що означає роботу приладу через A_k і B_j.

1.18. Серед студентів, що здали іспит з теорії ймовірностей, обирають будь-якого одного. Нехай подія A – “обраний студент молодше 20 років”, B – “обраний студент живе у гуртожитку”, C – “обраний студент отримав на іспиті відмінно”. Потрібно описати події: а) , б) .

1.19. Фізична особа взяла кредит у банку на 5 років. Нехай подія А – по кредиту сплачено відсотки вчасно, події В_і – повернута і -та частина кредиту. Описати подію повернення кредиту.

1.20. Фізична особа поклала гроші на депозитний рахунок. Подія А гроші одержані після закінчення терміну депозиту, подія В – одержані відсотки. Описати події А×В, , , .

1.21. Фірма набирає співробітників. Вимоги до претендентів: а) володіння англійською мовою (подія А); б) володіння комп’ютерними навичками (подія В); в) вік – не старше 30 років (подія С); г) стать – чоловіча (подія D). Як записати подію, яка полягає в тому, що претендента можуть взяти на роботу? Пояснити, що означають події: А + В + С + D, А × В × C, , , .

1.22. Якщо подія А – це в академічній групі у 14 студентів день народження взимку, а подія В – це у п’яти студентів день народження приходяться на 20-ті числа місяців, то визначити зміст подій А + В та А×В.

«Комбінаторика»

1.23. В місті налічується сім заводів. Скількома способами організація може розмістити на них три різні виробничі замовлення? (Замовлення не можна дробити, тобто розподіляти його на декілька заводів).

1.24. В транспортній компанії працюють десять водіїв. Кожний другий день потрібні два водії для п’яти заводів. Скількома способами можна направити водіїв на роботу на ці заводи?

1.25. Вісім авторів повинні написати книгу з 16 розділів. Скількома способами можливо розподіл матеріалу між авторами, якщо дві особи пишуть по три розділи, чотири – по дві і дві – по одному розділу книги?

1.26. Десять груп займаються в десяти розташованих підряд аудиторіях. Скільки існує варіантів розкладу, при якому групи 3597-1 та 3587-2 знаходились в сусідніх аудиторіях?

1.27. Для участі в змаганнях тренер відбирає п’ять спортсменів з 12. Скількома способами він може скласти команду?

1.28. З групи у 12 студентів щоденно протягом шести днів обирають двох чергових у гуртожитку. Визначити кількість різних списків чергових, якщо кожний студент чергує один раз.

1.29. З десяти троянд і восьми піонів потрібно скласти букет, який містить дві троянди і три піони. Скільки можна скласти різних букетів?

1.30. З семи заводів організація повинна вибрати три для розміщення трьох різних замовлень. Скількома способами можна розмістити замовлення?

1.31. За допомогою цифр 1, 2, 3, 4, 5 закодуйте букви а, д, и, т, у, замінивши кожну букву якою-небудь цифрою і зашифруйте слово АУДИТ. Яке число можливих варіантів коду?

1.32. Замок відкривається тільки у тому випадку, якщо набраний тризнаковий номер з п’яти цифр. Спроба складається з того, що набирають випадково три цифри. Вгадати номер вдалося тільки на останній з усіх можливих спроб. Скільки спроб передувало вдалої?

1.33. Замок сейфа відкривається, якщо набрана правильна комбінація з чотирьох цифр від 0 до 9. Дехто намагається відкрити сейф і набирає шифр навмання. Знайти найбільше число безуспішних спроб.

1.34. Збори акціонерного товариства з 80 осіб обирають голову, секретаря та трьох членів ревізійної комісії. Скількома способами це можна зробити?

1.35. Комісія складається з трьох осіб: голови, замісника та секретаря. Скількома варіантів комісій можна скласти, якщо на зборах присутні 15 осіб.

1.36. На фірмі, в якій працює 20 осіб, п’ять співробітників повинні їздити кожний місяць у відрядження. Скільки може бути різних складів цієї групи, якщо генеральний директор, комерційний директор та головний бухгалтер не повинні одночасно відправлятися у відрядження?

1.37. Набираючи номер телефону абонент забув три останні цифри і пам’ятаючи, що вони різні, набрав їх навмання. Знайти кількість безуспішних спроб.

1.38. Номера трамвайних маршрутів іноді позначаються двома кольоровими ліхтарями. Яку кількість маршрутів можна позначити, якщо використати ліхтарі восьми кольорів?

1.39. Розклад одного дня містить чотири пари. Визначити кількість таких розкладів при виборі з 11 дисциплін.

1.40. Сім яблук та три апельсина потрібно покласти в два пакети так, щоб в кожному пакеті був хоча б один апельсин, а кількість фруктів в них була однаковою. Скількома способами це можна зробити:?

1.41. Скільки різних звукосполучень можна взяти на десяти обраних клавішах рояля, якщо кожне звукосполучення може містити від трьох до десяти звуків?

1.42. Скільки різних чотиризначних чисел можна скласти з цифр 7, 2, 4, 9, якщо кожна цифра використовується в записі числа тільки один раз?

1.43. Студенти однієї групи повинні здати три іспити протягом 18 днів. Скількома способами можна скласти розклад іспитів, якщо в один день можна здавати не більш одного іспиту.

1.44. У групі 28 студентів. На групу виділено шість запрошень для святкування 80-річчя вишу. Скількома способами будуть розподілені ці квитки?

1.45. Фірма-склад реалізує товари 20 найменувань. Скількома способами їх можна розподілити по трьом магазинам, якщо відомо, що в перший магазин повинно бути доставлено вісім, у другий – сім, а в третій – п’ять найменувань товарів?

«Класичне поняття ймовірностей»

1.46. Бібліотека складається з десяти різних книг, причому п’ять книг стоять по 4 грн. кожна, три книги – по одній грн. і дві книги – по 3 грн. Знайти ймовірність того, що узяті наугад дві книги коштують 5 грн.

1.47. В групі 15 студентів, серед яких 7 відмінників. За списком випадково вибрали 9 студентів. Знайти ймовірність того, що серед вибраних 4 відмінника.

1.48. В цеху працюють 8 чоловіків і 3 жінки. За табельними номерами навмання відбирають трьох працівників. Знайти ймовірність того, що усі відібрані будуть чоловіками.

1.49. В ящику є 15 деталей, серед яких 10 пофарбованих. Збирач випадково витягає 3 деталі. Знайти імовірність того, що витягнуті деталі виявляться пофарбованими.

1.50. Відомо, що серед 10 виробів верхнього одягу є три, що не минули контроль якості. Яка ймовірність серед 5 випадково відібраних виробів два не минули контроль.

1.51. З 10 білетів виграшних є 2. Визначити ймовірність того, що серед навмання взятих 5 білетів хоча б один буде виграшним.

1.52. З 20 посібників по математиці 3 з теорії ймовірностей. Студент наугад узяв два посібника. Знайти ймовірність того, що серед узятих: а) немає посібників з теорії ймовірностей, б) один посібник з теорії ймовірностей.

1.53. З 40 вимірювальних приборів 5 нестандартних. Знайти ймовірність того, що 2 відібраних прибори будуть нестандартними.

1.54. З колоди в 52 карти навмання вибираються 4. Яка ймовірність наступних подій: 1) всі витягнуті карти – валети; 2) витягнута хоча б одна бубна.

1.55. З коробки, в якій знаходиться 10 ламп, виймають випадковим чином 4 лампи. Яка ймовірність того, що буде вийнята рівно одна згоріла лампа, якщо в коробці знаходитися 3 згорілі і 7 годних лампочок?

1.56. З трьох бухгалтерів, вісім менеджерів і шість науковців необхідно сформувати комітет з 10 осіб. Знайти ймовірність того, що в комітеті опиняться: один бухгалтер, п’ять менеджерів і чотири науковці.

1.57. Знайти імовірність того, що при трьох киданнях гральної кістки шість очок випаде один раз.

1.58. Кинуто дві гральні кістки. Знайти імовірність того, що сума очок на гранях, що випали, дорівнює п’яти, а добуток – чотирьом.

1.59. Коли Костя Гарбузенко, учень 6б класу, знайшов таки у буфеті кульок з цукерками, він почув, як відчинилися вхідні двері. Це прийшла з магазину бабуся Пелагея Марківна. Часу на вибір не було, і Костя, запустивши руку в кульок, ледь устиг перемістити до себе в кишеню дві цукерки. Яка імовірність того, що йому дістався хоча б один "Ведмедик на Півночі", якщо в кульку було сім цукерок з помадкою, п’ять соєвих батончиків і три "Ведмедика на Півночі"?

1.60. Магазин отримує товар партіями по 100 штук. Якщо п’ять, взятих навмання зразків відповідають стандартам, партія товару надходить на реалізацію. У черговій партії 8 одиниць товару з дефектом. Яка ймовірність того, що товар надійде в реалізацію?

1.61. На складі є 15 телевізорів, з яких 8 імпортного виробництва. Знайти вірогідність того, що серед п’яти навмання узятих телевізорів: 1) виявиться більше 2 імпортних; 2) всі будуть вітчизняного виробництва.

1.62. На складі є 20 трансформаторів, причому з них 15 Запорізького заводу. Знайти імовірність того, що серед випадково узятих п’яти трансформаторів три Запорізького заводу.

1.63. Порожні горщики з медом Вінні-Пух ставить на поличку разом з повними для того, щоб вид зменшуваного числа горщиків не занадто псував йому настрій. В даний момент у Пуховому буфеті впереміжку стоять 5 горщиків з медом і 6 абсолютно порожніх. Яка імовірність того, що в двох узятих на вечерю горщиках виявиться мед?

1.64. Серед 10 електричних лампочок 3 нестандартні. Знайти імовірність того, що узяті 2 одночасно лампочки виявляться нестандартними.

1.65. Службовці компанії "N" наведені в таблиці по відділам та статі

Підрозділи	Жінки	Чоловіки
Виробничий відділ
Ремонтна майстерня
Склади
Автобаза
Відділ реалізації

1. Навмання відібраний один службовець. Знайти ймовірність того, що це а) жінка; б) робітник ремонтної майстерні; в) чоловік, який працює на складі або автобазі; г) жінка, що працює на складі або автобазі; д) робітник виробничого відділу або відділу реалізації.

2. В цій же компанії організують консультативний пункт з двох осіб. Яка ймовірність того, що вони будуть а) жінки; б) обидва з виробничого відділу; в) один з магазина, а другий з автобази; г) жінка з ремонтної майстерні і чоловік зі складу; д) одна – особа з виробничого відділу, а друга – чоловік з відділу реалізації?

1.66. У групі з 28 студентів чверть народилася влітку. Наугад відбираються 4 студенти. Знайти ймовірність подій: 1) серед відібраних двоє народилися влітку; 2) серед відібраних хоча б один народився влітку.

1.67. У книзі 208 сторінок. Яка імовірність того, що порядковий номер навмання відкритої сторінки буде закінчуватися цифрою 5?

1.68. У команді спортсменів шість бігунів на короткі дистанції, три бігуни на довгі дистанції, п’ять метальників молота, сім борців і чотири боксери. Визначити імовірність того, що випадково вибрані два спортсмени будуть легкоатлетами.

1.69. У лабораторії є 16 пробірок з пробою молока, причому в шести пробірках молоко із зниженою жирністю. Для заключного аналізу навмання відбирають чотири пробірки. Знайти ймовірність того, що всі відібрані пробірки будуть з підвищеною жирністю.

1.70. У лотереї 80 квитків, з них 20 – виграшні. Визначити ймовірність того, що обидва куплені квитки будуть виграшні.

1.71. У магазині працюють два чоловіки і сім жінок. Троє з них повинні піти у відпустку влітку. Хто саме – визначається долею. Знайти ймовірність того, що влітку у відпустку піде хоча б один чоловік.

1.72. У механізмі три однакові деталі. Якщо при зборці механізму поставити три деталі більшого розміру ніж позначено у кресленні, то механізм не працює. У збирача залишилось 12 деталей, з яких п’ять більшого розміру. Знайти ймовірність того, що робота першого зібраного з цих деталей механізму порушиться, якщо збирач бере деталі навмання.

1.73. У партії з 300 деталей 65 бракованих. Визначити імовірність того, що з трьох обраних навмання деталей дві виявляться придатними, а одна бракована.

1.74. У пачці 10 зошитів, серед них чотири зошити в клітку, а інші в лінійку. Знайти ймовірність того, що серед наугад узятих трьох зошитів хоча б один буде в клітку.

1.75. У телевізорі знаходяться 12 радіоламп, які зовні не відрізняються одна від одної. Телевізор ламався і відомо, що дві радіолампи в ньому згоріли. Навмання з телевізора виймають дві радіолампи. Яка ймовірність того, що вони обидва будуть згорілими?

1.76. У шухляді комода лежать десять шкарпеток чорного кольору і шість шкарпеток у зелену смужечку. Випадково виймається три шкарпетки. Знайти імовірність того, що утворилася пара.

1.77. Що імовірніше, випадання "герба" один раз при двох кидках монети чи при чотирьох?

Контрольні питання

1. Правило множення у комбінаторних задачах.

2. Поняття перестановки.

3. Поняття розміщення.

4. Поняття сполучення.

5. Поняття події.

6. Ймовірність події.

7. Класифікація подій.

8. Сума подій.

9. Множення подій.

10. Закон рівномірного розподілу ймовірностей.

11. Визначення ймовірностей. Відносна частота подій.

12. Класичне визначення ймовірності.